Cho tam giác \(ABC\) thỏa mãn \(\cos A\cos B\cos C = \dfrac{1}{8}\) thì:

Câu hỏi số 339148:

Vận dụng cao

A. Không tồn tại tam giác \(ABC\)

B. Tam giác \(ABC\) đều

C. Tam giác \(ABC\) cân

D. Tam giác \(ABC\) vuông

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:339148

Phương pháp giải

+) Sử dụng công thức \(\cos a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {a + b} \right) + \cos \left( {a - b} \right)} \right]\).

+) \(ABC\) là tam giác \( \Rightarrow A + B + C = \pi \). Sử dụng mối quan hệ \(\cos A = - \cos \left( {\pi - A} \right)\).

+) Thêm bớt tạo hằng đẳng thức, đưa đẳng thức về dạng \({A^2} + {B^2} \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}A = 0\\B = 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\cos A\cos B\cos C = \dfrac{1}{8} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left[ {\cos \left( {A + B} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\cos C = \dfrac{1}{8}\\ \Leftrightarrow \left[ {\cos \left( {\pi - C} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\cos C = \dfrac{1}{4}\\ \Leftrightarrow \left[ {\cos \left( {\pi - C} \right) + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\cos C - \dfrac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ { - \cos C + \cos \left( {A - B} \right)} \right]\cos C - \dfrac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}C - \cos \left( {A - B} \right)\cos C + \dfrac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\cos ^2}C - \cos \left( {A - B} \right)\cos C + \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) - \dfrac{1}{4}{\cos ^2}\left( {A - B} \right) + \dfrac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right)^2} + \dfrac{1}{4}\left( {1 - {{\cos }^2}\left( {A - B} \right)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right)^2} + \dfrac{1}{4}{\sin ^2}\left( {A - B} \right) = 0\end{array}\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right)^2} \ge 0\\\dfrac{1}{4}{\sin ^2}\left( {A - B} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right)} \right)^2} + \dfrac{1}{4}{\sin ^2}\left( {A - B} \right) \ge 0\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\cos C - \dfrac{1}{2}\cos \left( {A - B} \right) = 0\\\dfrac{1}{4}{\sin ^2}\left( {A - B} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\cos C = \cos \left( {A - B} \right)\\A - B = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2\cos C = 1\\A = B\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}C = \dfrac{\pi }{3}\\A = B\end{array} \right.\) .

Vậy tam giác \(ABC\) đều.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.