Cho các số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = -

Câu hỏi số 3396:

Cho các số dương a, b, c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{1}{6\sqrt{ab}+7c+8\sqrt{ca}}$ - $\frac{1}{9\sqrt{a+b+c}}$

A. Giá trị nhỏ nhất của P là 1

B. Giá trị nhỏ nhất của P là - $\frac{1}{36}$

C. Giá trị nhỏ nhất của P là $\frac{1}{36}$

D. Giá trị nhỏ nhất của P là 0

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:3396

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

6 $\sqrt{ab}$ = 2 $\sqrt{a.9b}$ ≤ a + 9b,

8 $\sqrt{ca}$ = 4 $\sqrt{c.4a}$ ≤ 2(c + 4a).

Suy ra 6 $\sqrt{ab}$ + 7c + 8 $\sqrt{ca}$ ≤ 9(a + b + c)

Do đó P ≥ $\frac{1}{9(a+b+c)}$ - $\frac{1}{9\sqrt{a+b+c}}$ .

Đặt t = $\sqrt{a+b+c}$ , t > 0. Xét hàm f(t) = $\frac{1}{9t^{2}}$ - $\frac{1}{9t}$ trên (0 ; + $\infty$ )

Ta có f'(t) = - $\frac{2}{9t^{3}}$ + $\frac{1}{9t^{2}}$ , f'(t) = 0 ⇔ t = 2.

Suy ra bảng biến thiên:

Dựa vào bảng biến thiên ta có P ≥ f(2) = - $\frac{1}{36}$ .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

$\left\{\begin{matrix} a+b+c=4 & \\a=9b & \\c=4a & \end{matrix}\right.$ ⇔ a = $\frac{18}{23}$ , b = $\frac{2}{23}$ , c = $\frac{72}{23}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là - $\frac{1}{36}$ , đạt khi a = $\frac{18}{23}$ , b = $\frac{2}{23}$ , c = $\frac{72}{23}$

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.