Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} +

Câu hỏi số 341643:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = 0,\,\,f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}\). Họ nguyên hàm của hàm số \(g\left( x \right) = 4xf\left( x \right)\) là:

A. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2}} \right) - {x^2} + c\)

B. \({x^2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - {x^2}\)

C. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - {x^2} + c\)

D. \(\left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - {x^2}\)

Đáp án đúng là: C

Phương pháp giải

+) \(f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right)dx} \Rightarrow \) Xác định hàm số \(f\left( x \right)\).

+) Sử dụng phương pháp đổi biến và nguyên hàm từng phần tính nguyên hàm của hàm \(g\left( x \right)\).

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \dfrac{x}{{{x^2} + 1}}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \int\limits_{}^{} {f'\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\dfrac{{xdx}}{{{x^2} + 1}}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{}^{} {\dfrac{{d\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}}} = \dfrac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right) + C\\f\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\ln 1 + C = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{2}\ln \left( {{x^2} + 1} \right)\\ \Rightarrow g\left( x \right) = 4xf\left( x \right) = 2x\ln \left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow \int\limits_{}^{} {g\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {2x\ln \left( {{x^2} + 1} \right)dx} \end{array}\)

Đặt \(t = {x^2} + 1 \Rightarrow dt = 2xdx\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_{}^{} {g\left( x \right)dx} = \int\limits_{}^{} {\ln tdt} = t\ln t - \int\limits_{}^{} {t.\dfrac{1}{t}dt} = t\ln t - \int\limits_{}^{} {dt} = t\ln t - t + C\\ = \left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - \left( {{x^2} + 1} \right) + C\end{array}\)

Đặt \( - 1 + C = c \Rightarrow \int\limits_{}^{} {g\left( x \right)dx} = \left( {{x^2} + 1} \right)\ln \left( {{x^2} + 1} \right) - {x^2} + c\).

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:341643

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.