Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = 2a,\,\,BC = a\), tam giác \(SAB\) đều

Câu hỏi số 341672:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật \(AB = 2a,\,\,BC = a\), tam giác \(SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với \(\left( {ABCD} \right)\). Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SDB} \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

D. \(\dfrac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:341672

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp đổi đỉnh tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), do tam giác \(SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Ta có: \(AH \cap \left( {SDB} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SDB} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SDB} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} = 2\)

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\), do tam giác \(SAB\) đều \( \Rightarrow SH \bot AB\).

Ta có: \(AH \cap \left( {SDB} \right) = B \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SDB} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SDB} \right)} \right)}} = \dfrac{{AB}}{{HB}} = 2\)

\( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SDB} \right)} \right) = 2d\left( {H;\left( {SDB} \right)} \right)\).

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(HM \bot BD\,\,\left( {M \in BD} \right)\), trong \(\left( {SHM} \right)\) kẻ \(HK \bot SM\,\,\left( {K \in SM} \right)\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot HM\\BD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow BD \bot HK\\\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SM\\HK \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot \left( {SDB} \right) \Rightarrow d\left( {H;\left( {SDB} \right)} \right) = HK\end{array}\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) kẻ \(AE \bot BD\,\,\left( {E \in BD} \right) \Rightarrow AE//HM\).

Ta có \(AE = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{2a.a}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }}\).

Có \(HM\) là đường trung bình của tam giác \(ABE \Rightarrow HM = \dfrac{1}{2}AE = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}\).

Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(AB = 2a \Rightarrow SH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông \(SHM:\,\,HK = \dfrac{{SH.HM}}{{\sqrt {S{H^2} + H{M^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 .\dfrac{a}{{\sqrt 5 }}}}{{\sqrt {3{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{5}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \(d\left( {A;\left( {SDB} \right)} \right) = 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Chọn C

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.