Trong không gian .. cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\) và mặt

Câu hỏi số 341699:

Vận dụng cao

Trong không gian .. cho đường thẳng \(d:\,\,\dfrac{x}{2} = \dfrac{y}{2} = \dfrac{{z + 3}}{{ - 1}}\) và mặt cầu \(\left( S \right):\,\,{\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 5} \right)^2} = 36\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right)\) và cắt \(\left( S \right)\) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất. Khi đó đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u \left( {1;a;b} \right)\). Tính \(a + b\).

A. \(4\)

B. \( - 2\)

C. \( - \dfrac{1}{2}\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:341699

Phương pháp giải

+) Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d.\)

+) Gọi \(J\) là tâm của đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) \( \Rightarrow J\) là hình chiếu của \(I\left( {3;2;5} \right)\) là tâm của \(\left( S \right)\) trên \(\left( P \right)\).

+) Để \(\left( \Delta \right)\) cắt \(\left( S \right)\) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất \( \Rightarrow \Delta \) là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).

Giải chi tiết

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với \(d \Rightarrow \overrightarrow {{n_P}} = \overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;2; - 1} \right)\).

Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,2\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 1} \right) - 1\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + 2y - z - 3 = 0\).

\(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\left( {2;1;3} \right)\) vuông góc với đường thẳng \(\left( d \right)\) \( \Rightarrow \Delta \subset \left( P \right)\).

Để \(\left( \Delta \right)\) cắt \(\left( S \right)\) tại 2 điểm có khoảng cách lớn nhất \( \Rightarrow \Delta \) là đường thẳng đi qua tâm của đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\).

Gọi \(J\) là tâm của đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\) \( \Rightarrow J\) là hình chiếu của \(I\left( {3;2;5} \right)\) là tâm của \(\left( S \right)\) trên \(\left( P \right)\).

Gọi \(d'\) là đường thẳng đi qua \(I\) và vuông góc với \(\left( P \right) \Rightarrow d':\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = 2 + 2t\\z = 5 - t\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}J \in d' \Rightarrow J\left( {3 + 2t;2 + 2t;5 - t} \right)\\J \in \left( P \right) \Rightarrow 2\left( {3 + 2t} \right) + 2\left( {2 + 2t} \right) - \left( {5 - t} \right) - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 9t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{2}{9} \Rightarrow J\left( {\dfrac{{23}}{9};\dfrac{{14}}{9};\dfrac{{47}}{9}} \right)\end{array}\)

\(\Delta \) đi qua \(J,\,\,A \Rightarrow \Delta \) nhận \(\overrightarrow {JA} = \left( { - \dfrac{5}{9}; - \dfrac{5}{9}; - \dfrac{{20}}{9}} \right) = - \dfrac{5}{9}\left( {1;1;4} \right)\) là 1 VTCP.

\( \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {1;1;4} \right)\) cũng là 1 VTCP của \(\Delta \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 4\end{array} \right. \Rightarrow a + b = 1 + 4 = 5\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.