Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để tồn tại 4 số phức \(z\) thỏa

Câu hỏi số 341700:

Vận dụng cao

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị thực của \(m\) để tồn tại 4 số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 2\) và \(z\left( {\overline z + 2} \right) - \left( {z + \overline z } \right) - m\) là số thuần ảo. Tổng các phần tử của \(S\) là:

A. \(1\)

B. \(\dfrac{{ 1}}{{\sqrt 2 }}\)

C. \(\dfrac{{3}}{{2}}\)

D. \(\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:341700

Phương pháp giải

Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\). Sử dụng phương pháp hình học

Giải chi tiết

Gọi \(z = x + yi \Rightarrow \overline z = x - yi\).

\(\begin{array}{l} + )\,\,\left| {z + \overline z } \right| + \left| {z - \overline z } \right| = 2 \Leftrightarrow \left| {x + yi + x - yi} \right| + \left| {x + yi - x + yi} \right| = 2\\ \Leftrightarrow \left| {2x} \right| + \left| {2yi} \right| = 2 \Leftrightarrow \left| x \right| + \left| y \right| = 1\,\,\left( * \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = 1\,\,khi\,\,x \ge 0,\,\,y \ge 0\,\,\,\,\,\left( {{d_1}} \right)\\x - y = 1\,\,khi\,\,x \ge 0,\,\,y < 0\,\,\,\,\,\left( {{d_2}} \right)\\ - x + y = 1\,\,khi\,\,x < 0,\,\,y \ge 0\,\,\,\left( {{d_3}} \right)\\x + y = - 1\,\,khi\,\,x < 0,\,\,y < 0\,\,\,\left( {{d_4}} \right)\end{array} \right.\\ + )\,\,z\left( {\overline z + 2} \right) - \left( {z + \overline z } \right) - m\\ = \left( {x + yi} \right)\left( {x - yi + 2} \right) - \left( {x + yi + x - yi} \right) - m\\ = x\left( {x + 2} \right) + {y^2} + \left( { - xy + xy + 2y} \right)i - 2x - m\end{array}\)

\( = {x^2} + {y^2} - m + 2yi\) là số thuần ảo \( \Rightarrow {x^2} + {y^2} - m = 0 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = m\,\,\left( C \right)\).

Tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) thỏa mãn (*) là hình vuông

Để tồn tại 4 số phức \(z\) thì \(\left( C \right)\) phải cắt cả 4 cạnh của hình vuông \(ABCD\) tại 4 điểm phân biệt.

Ta có \(d\left( {O;{d_1}} \right) = \dfrac{{\left| {0 + 0 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Để \(\left( C \right)\) cắt ở 4 cạnh của hình vuông \(ABCD\) tại 4 điểm phân biệt thì \(\left[ \matrix{{R_C} = \sqrt m = {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr {R_C} = \sqrt m = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{m = {1 \over 2} \hfill \cr m = 1 \hfill \cr} \right.\)

\( \Rightarrow S = \left\{ {{1 \over 2};1} \right\} \Rightarrow \) Tổng các phần tử của \(S\) là \({1 \over 2} + 1 = {3 \over 2}\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.