Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và \(M,\,\,N\) là hai điểm lần lượt trên cạnh \(CA,\,\,CB\) sao cho
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) và \(M,\,\,N\) là hai điểm lần lượt trên cạnh \(CA,\,\,CB\) sao cho \(MN\) song song với \(AB\) và \(\dfrac{{CM}}{{CA}} = k\). Mặt phẳng \(\left( {MNB'A'} \right)\) chia khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) thành hai phần có thể tích \({V_1}\) (phần chứa điểm \(C\)) và \({V_2}\) sao cho \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2\). Khi đó giá trị của \(k\) là:
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Sử dụng công thức tính tỉ số thể tích.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNB'A'} \right) \cap \left( {ACC'A'} \right) = A'M\\\left( {MNB'A'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = B'N\\\left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {BCC'B'} \right) = CC'\end{array} \right. \Rightarrow A'M,\,\,B'N,\,\,CC'\) đồng quy tại \(S\).
Áp dụng định lí Ta-let ta có:
\(\dfrac{{SM}}{{SA'}} = \dfrac{{MN}}{{A'B'}} = \dfrac{{MN}}{{AB}} = \dfrac{{CM}}{{CA}} = k = \dfrac{{SN}}{{SB'}} = \dfrac{{SC}}{{SC'}}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.MNC}}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = \dfrac{{SM}}{{SA'}}.\dfrac{{SN}}{{SB'}}.\dfrac{{SC}}{{SC'}} = {k^3}\\ \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_{S.A'B'C'}}}} = 1 - {k^3} \Rightarrow {V_1} = \left( {1 - {k^3}} \right){V_{S.A'B'C'}}.\end{array}\)
Ta có : \(\dfrac{{SC}}{{SC'}} = k \Rightarrow \dfrac{{SC' - CC'}}{{SC'}} = k \Leftrightarrow \dfrac{{CC'}}{{SC'}} = 1 - k\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{ABC.A'B'C'}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}SC'}}{{CC'}} = \dfrac{1}{{3\left( {1 - k} \right)}} \Rightarrow {V_{S.A'B'C'}} = \dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{3\left( {1 - k} \right)}}\\ \Rightarrow {V_1} = \left( {1 - {k^3}} \right){V_{S.A'B'C'}} = \left( {1 - {k^3}} \right)\dfrac{{{V_{ABC.A'B'C'}}}}{{3\left( {1 - k} \right)}} = \dfrac{{1 + k + {k^2}}}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\end{array}\)
Ta có: \(\dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = 2 \Leftrightarrow {V_1} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\)\( \Rightarrow \dfrac{{1 + k + {k^2}}}{3} = \dfrac{2}{3} \Leftrightarrow 1 + k + {k^2} = 2 \Leftrightarrow k = \dfrac{{\sqrt 5 - 1}}{2}\).
Chọn A
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
