Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {2 + \ln x} \right)\)

Câu hỏi số 341971:

Thông hiểu

Cho \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x\left( {2 + \ln x} \right)\) thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 1\). Giá trị của \(F\left( e \right)\) bằng

A. \(\dfrac{{5{e^2} + 1}}{4}\).

B. \(5{e^2} - 1\).

C. \(\dfrac{{5{e^2} - 1}}{4}\).

D. \(5{e^2} + 1\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:341971

Phương pháp giải

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) \Rightarrow \)\(\int\limits_a^b {f\left( x \right)} dx = F\left( b \right) - F\left( a \right)\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int\limits_1^e {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^e {x\left( {2 + \ln x} \right)} dx = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^e {\left( {2 + \ln x} \right)} d{x^2}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\left. {{x^2}\left( {2 + \ln x} \right)} \right|_1^e - \int\limits_1^e {{x^2}} d\left( {2 + \ln x} \right)} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {3{e^2} - 2 - \int\limits_1^e {{x^2}} .\dfrac{1}{x}dx} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {3{e^2} - 2 - \int\limits_1^e x dx} \right)\\ = \dfrac{1}{2}\left( {3{e^2} - 2 - \left. {\dfrac{1}{2}{x^2}} \right|_1^e} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {3{e^2} - 2 - \dfrac{1}{2}{e^2} + \dfrac{1}{2}} \right) = \dfrac{5}{4}{e^2} - \dfrac{3}{4}\end{array}\)

\(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^e {f\left( x \right)} dx = F\left( e \right) - F\left( 1 \right) \Rightarrow F\left( e \right) - F\left( 1 \right) = \dfrac{5}{4}{e^2} - \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow F\left( e \right) - 1 = \dfrac{5}{4}{e^2} - \dfrac{3}{4} \Rightarrow F\left( e \right) = \dfrac{5}{4}{e^2} + \dfrac{1}{4}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.