Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;4;5} \right),B\left( {3;4;0} \right),C\left( {2; - 1;0}

Câu hỏi số 341978:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho ba điểm \(A\left( {1;4;5} \right),B\left( {3;4;0} \right),C\left( {2; - 1;0} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x - 3y - 2z - 12 = 0\). Điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tổng \(a + b + c\) bằng

A. \( - 3\).

B. \( - 2\).

C. 2.

D. 3.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:341978

Phương pháp giải

Xác định tọa độ điểm I thỏa mãn \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \).

Giải chi tiết

Giả sử \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x_I} + 3 - {x_I} + 3\left( {2 - {x_I}} \right) = 0\\4 - {y_I} + 4 - {y_I} + 3\left( { - 1 - {y_I}} \right) = 0\\5 - {z_I} + 0 - {z_I} + 3\left( {0 - {z_I}} \right) = 0\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {2;1;1} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + 3{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 5M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} .\left( {\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} } \right) + I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2} = 5M{I^2} + I{A^2} + I{B^2} + 3I{C^2}\end{array}\)

\(M{A^2} + M{B^2} + 3M{C^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI ngắn nhất \( \Leftrightarrow M\) là hình chiếu của I lên (P)

Khi đó, phương trình đường thẳng IM là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + 3t\\y = 1 - 3t\\z = 1 - 2t\end{array} \right.\)

Giả sử \(M\left( {2 + 3t;1 - 3t;1 - 2t} \right) \Rightarrow \)\(3\left( {2 + 3t} \right) - 3\left( {1 - 3t} \right) - 2\left( {1 - 2t} \right) - 12 = 0 \Leftrightarrow 22t - 11 = 0 \Leftrightarrow t = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow M\left( {\dfrac{7}{2}; - \dfrac{1}{2};0} \right)\)\( \Rightarrow \)\(a + b + c = 3\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.