Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2} - iz + 2} \right| = \left| {{z^2} - z + 1 - i} \right|\). Tìm giá

Câu hỏi số 342034:

Vận dụng

Cho các số phức z thỏa mãn \(\left| {{z^2} - iz + 2} \right| = \left| {{z^2} - z + 1 - i} \right|\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - 2 + i} \right|\).

A. \(2\sqrt 2 \).

B. \(2\)

C. \(\dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\).

D. \(\sqrt 2 \).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342034

Phương pháp giải

\(\left| {{z_1}.{z_2}} \right| = \left| {{z_1}} \right|.\left| {{z_2}} \right|\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {{z^2} - iz + 2} \right| = \left| {{z^2} - z + 1 - i} \right| \Leftrightarrow \left| {{z^2} - 2iz + iz + 2} \right| = \left| {{z^2} + 1 - \left( {z + i} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z\left( {z - 2i} \right) + i\left( {z - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + i} \right)\left( {z - i} \right) - \left( {z + i} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {z + i} \right)\left( {z - 2i} \right)} \right| = \left| {\left( {z + i} \right)\left( {z - i - 1} \right)} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z + i} \right|.\left| {z - 2i} \right| = \left| {z + i} \right|.\left| {z - i - 1} \right|\,\,\left( * \right)\end{array}\)

TH1: \(\left| {z + i} \right| = 0 \Leftrightarrow z + i = 0 \Leftrightarrow z = - i\)

Khi đó, \(\left| {z - 2 + i} \right| = \left| { - i - 2 + i} \right| = \left| { - 2} \right| = 2\).

TH2: \(\left| {z + i} \right| \ne 0\)

Khi đó, (*)\( \Leftrightarrow \left| {z - 2i} \right| = \left| {z - i - 1} \right|\) (2*)

Đặt \(z = x + yi,\,\,\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\).

\(\begin{array}{l}\left( {2*} \right) \Leftrightarrow \left| {x + yi - 2i} \right| = \left| {x + yi - i - 1} \right| \Leftrightarrow {x^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow x - y + 1 = 0 \Leftrightarrow y = x + 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {z - 2 + i} \right| = \left| {x + yi - 2 + i} \right| = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y + 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {x + 1 + 1} \right)}^2}} \\ = \sqrt {2{x^2} + 8} = \sqrt 8 \ge 2\sqrt 2 ,\,\,\forall x\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x = 0,\,\,y = 1\).

Kết hợp 2 trường hợp ta được giá trị nhỏ nhất của \(\left| {z - 2 + i} \right|\) là: \(2\) khi \(z = - i\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.