Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right),B\left( {5;2; - 1} \right)\)và hai điểm

Câu hỏi số 342441:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;1;3} \right),B\left( {5;2; - 1} \right)\)và hai điểm \(M,\,N\) thay đổi trên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) sao cho điểm \(I\left( {1;2;0} \right)\) luôn là trung điểm của \(MN\). Khi biểu thức \(P = M{A^2} + 2N{B^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} \) đạt giá trị nhỏ nhất. Tính \(T = 2{x_M} - 4{x_N} + 7{y_M} - {y_N}\).

A. \(T = - 10\)

B. \(T = - 12\)

C. \(T = - 11\)

D. \(T = - 9\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342441

Phương pháp giải

Sử dụng công thức trung điểm: \(I\) là trung điểm của \(AB\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}\\{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2}\\{z_I} = \frac{{{z_A} + {z_B}}}{2}\end{array} \right.\)

Sử dụng tích vô hướng \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}\) với \(\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1};{z_1}} \right);\,\overrightarrow b = \left( {{x_2};{y_2};{z_2}} \right)\)

Từ đó biến đổi \(P\) đưa về dạng \({X^2} + {Y^2} + m \ge m\), dấu “=” xảy ra khi \(X = Y = 0.\)

Giải chi tiết

Vì \(M \in \left( {Oxy} \right):z = 0\) nên \(M\left( {{x_M};{y_M};0} \right)\). Lại có \(I\left( {1;2;0} \right)\) là trung điểm của \(MN\) nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_N} = 2{x_I} - {x_M} = 2 - {x_M}\\{y_N} = 2{y_I} - {y_M} = 4 - {y_M}\\{z_N} = 2{z_I} - {z_M} = 0\end{array} \right.\) hay \(N\left( {2 - {x_M};4 - {y_M};0} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {MA} = \left( {1 - {x_M};1 - {y_M};3} \right);\,\overrightarrow {NB} = \left( {{x_M} + 3;{y_M} - 2; - 1} \right)\)

Suy ra \(M{A^2} = {\left( {1 - {x_M}} \right)^2} + {\left( {1 - {y_M}} \right)^2} + {3^2};N{B^2} = {\left( {{x_M} + 3} \right)^2} + {\left( {{y_M} - 2} \right)^2} + {\left( { - 1} \right)^2}\)

Và \(\overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} = \left( {1 - {x_M}} \right)\left( {{x_M} + 3} \right) + \left( {1 - {y_M}} \right)\left( {{y_M} - 2} \right) + 3\left( { - 1} \right) = - x_M^2 - y_M^2 - 2{x_M} + 3{y_M} - 2\)

Từ đó \(P = M{A^2} + 2N{B^2} + \overrightarrow {MA} .\overrightarrow {NB} \)

\(\begin{array}{l} = {\left( {1 - {x_M}} \right)^2} + {\left( {1 - {y_M}} \right)^2} + {3^2} + 2{\left( {{x_M} + 3} \right)^2} + 2{\left( {{y_M} - 2} \right)^2} + 2{\left( { - 1} \right)^2} - x_M^2 - y_M^2 - 2{x_M} + 3{y_M} - 2\\ = 2x_M^2 + 2y_M^2 + 8{x_M} - 7{y_M} + 37\\ = 2{\left( {{x_M} + 2} \right)^2} + 2{\left( {{y_M} - \frac{7}{4}} \right)^2} + \frac{{183}}{8} \ge \frac{{183}}{8}.\end{array}\)

Hay GTNN của \(P\) là \(\frac{{183}}{8}\)

Dấu “=” xáy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + 2 = 0\\{y_M} - \frac{7}{4} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = - 2 \Rightarrow {x_N} = 4\\{y_M} = \frac{7}{4} \Rightarrow {y_N} = \frac{9}{4}\end{array} \right.\)

Suy ra \(T = 2{x_M} - 4{x_N} + 7{y_M} - {y_N} = 2.\left( { - 2} \right) - 4.4 + 7.\frac{7}{4} - \frac{9}{4} = - 10.\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.