Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng 1. Hai điểm \(M,\,N\) lần lượt thay
Cho hình lập phương \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có cạnh bằng 1. Hai điểm \(M,\,N\) lần lượt thay đổi trên các đoạn \(A{B_1}\) và \(B{C_1}\) sao cho \(MN\) luôn tạo với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) một góc \({60^0}\)(tham khảo hình vẽ). Giá trị bé nhất của đoạn \(MN\) là
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Gắn hệ trục tọa độ vào hình vẽ.
- Lập biểu thức tính góc và đánh giá độ dài bé nhất của \(MN\).
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, ở đó \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {1;0;0} \right),D\left( {0;1;0} \right),{A_1}\left( {0;0;1} \right)\).
Khi đó \({B_1}\left( {1;0;1} \right),{C_1}\left( {1;1;1} \right)\).
Đường thẳng \(A{B_1}\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = t\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {m;0;m} \right) \in A{B_1}\).
Đường thẳng \(B{C_1}\) có phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = t\\z = t\end{array} \right. \Rightarrow N\left( {1;n;n} \right) \in B{C_1}\).
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( {1 - m;n;n - m} \right)\).
Mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right):z = 0\) có VTPT \(\overrightarrow k = \left( {0;0;1} \right)\).
Góc giữa \(MN\) và \(\left( {ABCD} \right)\) bằng \({60^0}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sin {60^0} = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{{\left| {n - m} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + {n^2} + {{\left( {n - m} \right)}^2}} }}\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\left| {n - m} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + {n^2} + {{\left( {n - m} \right)}^2}} }}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + {n^2} + {{\left( {n - m} \right)}^2}} \right] = 4{\left( {n - m} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {n - m} \right)^2} = 3\left[ {{n^2} + {{\left( {1 - m} \right)}^2}} \right] \ge \frac{3}{2}{\left( {n + 1 - m} \right)^2} = \frac{3}{2}\left[ {{{\left( {n - m} \right)}^2} + 2\left( {n - m} \right) + 1} \right]\\ \Leftrightarrow {\left( {n - m} \right)^2} + 6\left( {n - m} \right) + 3 \le 0\\ \Leftrightarrow - 3 - \sqrt 6 \le n - m \le - 3 + \sqrt 6 \\ \Leftrightarrow 3 - \sqrt 6 \le \left| {n - m} \right| \le 3 + \sqrt 6 \\ \Rightarrow MN = \sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + {n^2} + {{\left( {n - m} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{4}{3}{{\left( {n - m} \right)}^2}} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left| {n - m} \right|\end{array}\)
Mà \(3 - \sqrt 6 \le \left| {n - m} \right| \le 3 + \sqrt 6 \)\( \Rightarrow \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 - \sqrt 6 } \right) \le \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left| {n - m} \right| \le \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 + \sqrt 6 } \right)\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 - \sqrt 6 } \right) \le MN \le \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 + \sqrt 6 } \right)\\ \Rightarrow M{N_{\min }} = \frac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {3 - \sqrt 6 } \right) = 2\left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right).\end{array}\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}1 - m = n\\\left| {n - m} \right| = 3 - \sqrt 6 \end{array} \right.\)
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
