Biết rằng có số thực \(a > 0\) sao cho \({a^{3\cos 2x}} \ge 2{\cos ^2}x\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\).

Câu hỏi số 342457:

Vận dụng cao

Biết rằng có số thực \(a > 0\) sao cho \({a^{3\cos 2x}} \ge 2{\cos ^2}x\,,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Chọn mệnh đề đúng

A. \(a \in \left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)\).

B. \(a \in \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

C. \(a \in \left( {\frac{7}{2};\frac{9}{2}} \right)\).

\(a \in \left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}} \right)\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342457

Phương pháp giải

- Đặt \(t = \cos 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\) đưa về bất phương trình ẩn \(t\).

- Sử dụng phương pháp hàm số chứng minh hàm số đạt cực trị tại \(t = 0\) và tìm \(a\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \cos 2x,t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Khi đó bất phương trình trở thành \({a^{3t}} \ge t + 1,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\)\( \Leftrightarrow {a^{3t}} - t - 1 \ge 0,\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\).

Xét \(f\left( t \right) = {a^{3t}} - t - 1\) trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) có \(f'\left( t \right) = 3{a^{3t}}\ln a - 1\).

Dễ thấy \(f\left( 0 \right) = 0\) \( \Rightarrow f\left( t \right) \ge f\left( 0 \right),\forall t \in \left[ { - 1;1} \right]\) suy ra hàm số đạt cực tiểu tại \(t = 0\).

Hàm số \(f\left( t \right)\) có đạo hàm trên \(\left[ { - 1;1} \right]\) và đạt cực tiểu tại \(t = 0\) nên \(f'\left( 0 \right) = 0 \Leftrightarrow 3.{a^{3.0}}\ln a - 1 = 0 \Leftrightarrow a = {e^{\frac{1}{3}}} \in \left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.