Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm xác định trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x

Câu hỏi số 342453:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm xác định trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 4x - 6x{e^{{x^2} - f\left( x \right) - 2019}} = 0\) và \(f\left( 0 \right) = - 2019\). Số nghiệm nghiệm nguyên dương của bất phương trình \(f\left( x \right) < 7\) là

A. \(91\)

B. \(46\)

C. \(45\)

D. \(44\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342453

Phương pháp giải

Biến đổi giả thiết để lấy nguyên hàm hai vế từ đó tìm được \(f\left( x \right)\) rồi giải bất phương trình \(f\left( x \right) < 7.\)

Chú ý : \(\int {f'\left( x \right)dx} = f\left( x \right) + C\)

Giải chi tiết

Ta có \(f'\left( x \right) + 4x - 6x{e^{{x^2} - f\left( x \right) - 2019}} = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 4x = 6x{e^{3{x^2} - 2{x^2} - f\left( x \right) - 2019}}\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 4x = 6x.\frac{{{e^{3{x^2} - 2019}}}}{{{e^{2{x^2} + f\left( x \right)}}}}\\ \Leftrightarrow \left( {f'\left( x \right) + 4x} \right){e^{2{x^2} + f\left( x \right)}} = 6x.{e^{3{x^2} - 2019}}\\ \Leftrightarrow {\left( {{e^{2{x^2} + f\left( x \right)}}} \right)^\prime } = {\left( {{e^{3{x^2} - 2019}}} \right)^\prime }\end{array}\)

Lấy nguyên hàm hai vế ta được \({e^{2{x^2} + f\left( x \right)}} = {e^{3{x^2} - 2019}} + C\)

Lại có \(f\left( 0 \right) = - 2019\) nên ta có \({e^{ - 2019}} = {e^{ - 2019}} + C \Rightarrow C = 0\) , suy ra \({e^{2{x^2} + f\left( x \right)}} = {e^{3{x^2} - 2019}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^2} - 2019\)

Để \(f\left( x \right) < 7 \Leftrightarrow {x^2} - 2019 < 7 \Leftrightarrow {x^2} < 2026\) mà \(x > 0\) nên \(0 < x < \sqrt {2026} \) mà \(x\) nguyên dương nên \(x \in \left\{ {1;2;3;4;...;45} \right\}\)

Vậy có \(45\) nghiệm thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.