Cho khối chóp S.ABC có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right),\)\(\left( {SAC} \right) \bot \left(

Câu hỏi số 342954:

Vận dụng

Cho khối chóp S.ABC có \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right),\)\(\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right),SA = a,AB = AC = 2a,\) \(BC = 2a\sqrt 2 .\) Gọi M là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC bằng

A. \(\frac{a}{2}\)

B. \(\frac{a}{{\sqrt 2 }}\)

C. \(a\)

D. \(a\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342954

Phương pháp giải

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là khoảng cách giữa đường này và mặt chứa đường kia

Giải chi tiết

Xét tam giác \(ABC\) có

\(A{B^2} + A{C^2} = 4{a^2} + 4{a^2} = 8{a^2} = B{C^2} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A\) (Định lí Pytago đảo).

Gọi \(N\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow MN//AC\) (MN là đường trung bình của tam giác ABC).

\( \Rightarrow \left( {SMN} \right)//AC \Rightarrow d\left( {SM;AC} \right) = d\left( {AC;\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}MN//AC\\AB \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow MN \bot AB\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot MN\).

\( \Rightarrow MN \bot \left( {SAB} \right)\).

Trong \(\left( {SAB} \right)\) kẻ \(AH \bot SN\,\,\left( {H \in SN} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SN\\AH \bot MN\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SMN} \right)} \right) = AH\).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông \(SAN\) ta có: \(AH = \frac{{SA.AN}}{{\sqrt {S{A^2} + A{N^2}} }} = \frac{{{a^2}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(d\left( {SM;AC} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.