Cho tập hợp \(X\) thỏa mãn tính chất sau: Tồn tại \(2019\) tập con

Câu hỏi số 343536:

Vận dụng cao

Cho tập hợp \(X\) thỏa mãn tính chất sau: Tồn tại \(2019\) tập con \({A_1},\,\,{A_2},\,\,.....,\,{A_{2019}}\) của \(X\) sao cho mỗi tập con \({A_1},\,\,{A_2},......,\,\,{A_{2019}}\) có đúng 3 phần tử và hai tập \({A_i},\,{A_j}\) đều có đúng một phần tử chung với mọi \(1 \le i < j \le 2019.\)

1. Chứng minh rằng tồn tạo 4 tập hợp trong các tập hợp \({A_1},\,\,{A_2},......,\,\,{A_{2019}}\) sao cho giao của 4 tập hợp này có đúng một phần tử.

2. Chứng minh rằng số phần tử của \(X\) phải lớn hơn hoặc bằng \(4039.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343536

Giải chi tiết

1. Chứng minh rằng tồn tạo 4 tập hợp trong các tập hợp \({A_1},\,\,{A_2},......,\,\,{A_{2019}}\) sao cho giao của 4 tập hợp này có đúng một phần tử.

Xét tập hợp \({A_1}\) có ba phần tử \(a,\,\,b,\,\,c.\)

Khi đó, mỗi tập hợp \({A_i}\) với \(i = 2,\,\,3,\,.......,\,\,2019\) sẽ phải có chung với \({A_1}\) đúng một phần tử.

Ta chia các tập \({A_i}\) với \(i = 2,\,\,3,\,.......,\,\,2019\) thành ba nhóm.

Nhóm thứ nhất gồm các tập hợp chứa phần tử \(a,\) nhóm thứ hai gồm các tập hợp chứa phần tử \(b\) và nhóm thứ ba chứa phần tử \(c.\)

Ba nhóm nhày tổng hợp lại có \(2018\) tập hợp, do đó phải có một nhóm chứa ít nhất \(673\) tập hợp và 673 tập hợp này cùng với \({A_1}\) sẽ tạo thành \(674\) tập hợp có đúng một phần tử chung.

Như vậy chỉ cần lấy \(4\) tập hợp trong chúng ra sẽ được 4 tập hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán. (Chú ý: giao của bốn tập hợp không thể có quá \(1\) phần tử).

2. Chứng minh rằng số phần tử của \(X\) phải lớn hơn hoặc bằng \(4039.\)

Xét bốn tập hợp \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{A_3},\,\,{A_4}\) có chung phần tử \(a.\)

Ta chứng minh tất cả các tập hợp còn lại đều có chung phần tử \(a.\)

Thật vậy, giả sử tồn tại tập hợp \(A\) không chứa \(a.\) Khi đó mỗi một tập hợp trong các tập hợp \({A_1},\,\,{A_2},\,\,{A_3},\,\,{A_4}\) sẽ có chung với \(A\) một phần tử \(\left( { \ne a} \right).\)

Vì \(A\) chỉ có ba phần tử nên theo nguyên lý Dirichlet, sẽ có hai tập hợp trong chúng có chung phần tử chung với \(A.\) Chẳng hạn \({A_1},\,\,{A_2}\) có chung hai phần tử là \(a\) và \(b.\)

Vậy tất cả các tập hợp đều có chung phần tử \(a.\)

Do giao của hai tập hợp bất kì có đúng một phần tử nên tất cả các phần tử khác \(a\) còn lại đều đôi một khác nhau, suy ra: \(\left| {{A_1} \cup {A_2} \cup ....... \cup {A_{2019}}} \right| \ge 1 + 2019.2 = 4039.\)

Vậy số phần tử của \(X\) không ít hơn \(4039.\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link