Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và \(AB > AC.\) Gọi

Câu hỏi số 343535:

Vận dụng cao

Cho tam giác \(ABC\) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) và \(AB > AC.\) Gọi \(D,\,\,E\) lần lượt là chân đường cao của \(\Delta ABC\) hạ từ \(A,\,\,B.\) Gọi \(F\) là chân đường vuông góc hạ từ \(B\) lên đường thẳng \(AO.\)

1. Chứng minh \(B,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) là bốn đỉnh của hình thang cân.

2. Chứng minh \(EF\) đi qua trung điểm của \(BC.\)

3. Gọi \(P\) là giao điểm của thứ hai của đường thẳng \(AO\) và đường tròn \(\left( O \right),\,\,M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(EF\) và \(CP.\) Tính \(\angle BMN.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:343535

Phương pháp giải

1. Chứng minh góc \(\angle BDF = \angle DBE\), từ đó chứng minh \(BE//DF\).

Chứng minh \( \Rightarrow \angle DEB = \angle EBF \Rightarrow BFDE\) là hình thang cân.

2. Gọi \(I = EF \cap BC\). Ta chứng minh \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Chứng minh tam giác \(IEC\) cân tại \(I \Rightarrow IE = IC\).

Dựa vào tính chất hình thang cân \( \Rightarrow IE = IB\).

3. Chứng minh tam giác \(BMN\) đồng dạng với tam giác \(BEC\).

Giải chi tiết

1. Chứng minh \(B,\,\,D,\,\,E,\,\,F\) là bốn đỉnh của hình thang cân.

Kéo dài \(AF\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(P\) \( \Rightarrow AP\) là đường kính của \(\left( O \right) \Rightarrow \angle ABP = {90^0}\).

Xét tứ giác \(ABFD\) có: \(\angle AFB = \angle ADB = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(ABFD\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle BDF = \angle BAF = \angle BAP\) (1) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE\)).

Xét tứ giác \(ABDE\) có: \(\angle ADB = \angle AEB = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \) Tứ giác \(ABDE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

\( \Rightarrow \angle DBE = \angle DAE = \angle DAC\) (2) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DE\)).

Xét \(\Delta ADC\) và \(\Delta ABP\) có:

\(\angle ABP = \angle ADC = {90^0};\)

\(\angle APB = \angle ACB\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AB\))

\( \Rightarrow \Delta ADC \sim \Delta ABP\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \angle DAC = \angle BAP\) (3) (hai góc tương ứng).

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle BDF = \angle DBE\). Mà 2 góc này ở vị trí so le trong.

\( \Rightarrow DF//BE \Rightarrow BFDE\) là hình thang (dấu hiệu nhận biết).

Do tứ giác \(ABDE\) nội tiếp nên \(\angle DEB = \angle DAB\) (4) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BD\)).

Ta có: \(\angle EBF + \angle BFD = {180^0}\) (hai góc trong cùng phía bù nhau).

\(\angle DAB + \angle BFD = {180^0}\) (hai góc đối của tứ giác nội tiếp \(ABFD\))

\( \Rightarrow \angle EBF = \angle DAB\) (5)

Từ (4) và (5) \( \Rightarrow \angle DEB = \angle EBF \Rightarrow BFDE\) là hình thang cân (Hình thang có 2 góc ở đáy bằng nhau).

2. Chứng minh \(EF\) đi qua trung điểm của \(BC\).

Gọi \(I = EF \cap BC\). Ta chứng minh \(I\) là trung điểm của \(BC\).

Theo (3) ta có \(\angle DAC = \angle BAP \Rightarrow {90^0} - \angle DAC = {90^0} - \angle BAP \Leftrightarrow \angle DCA = \angle ABF\).

Xét tứ giác \(ABFE\) có \(\angle AFB = \angle AEB = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \) Tứ giác \(ABFE\) là tứ giác nội tiếp.

\( \Rightarrow \angle ABF = \angle IEC\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện).

\( \Rightarrow \angle ACB = \angle IEC \Leftrightarrow \Delta IEC\) cân tại \(I \Rightarrow IE = IC\).

Ta có \(BD \cap EF = \left\{ I \right\}\), mà \(BFDE\) là hình thang cân nên \(IE = IB\).

\( \Rightarrow IB = IC,\,\,I \in BC\) do đó \(I\) là trung điểm của \(BC\) hay \(EF\) đi qua trung điểm của \(BC\).

3. Gọi \(P\) là giao điểm thứ hai của đường thẳng \(AO\) của đường tròn \(\left( O \right)\), \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(EF\) và \(CP\). Tính góc \(\angle BMN\).

Xét tam giác \(FBE\) và tam giác \(PBC\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle FEB = \angle FAB = \angle PAB = \angle PCB\\\left\{ \begin{array}{l}\angle BPC + \angle BAC = {180^0}\\\angle BFE + \angle BAC = {180^0}\end{array} \right. \Rightarrow \angle BPC = \angle BFE\end{array}\)

\(\Delta FBE \sim \Delta PBC\,\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{EF}}{{CP}} = \frac{{EB}}{{CB}}\) và \(\angle BEF = \angle BCP\) hay \(\angle BEM = \angle BCN\).

\(\frac{{EF}}{{CP}} = \frac{{EB}}{{CB}} = \frac{{2EM}}{{2CN}} = \frac{{EM}}{{CN}} \Rightarrow \frac{{EB}}{{CB}} = \frac{{EM}}{{CN}}\).

Xét tam giác \(BEM\) và tam giác \(BCN\) ta có:

\(\begin{array}{l}\angle BEM = \angle BCN\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\frac{{EB}}{{CB}} = \frac{{EM}}{{CN}}\,\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta BEM \sim \Delta BCN\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle MBE = \angle NBC\\ \Rightarrow \angle MBE + \angle CBM = \angle NBC + \angle CBM\\ \Leftrightarrow \angle EBC = \angle MBN\end{array}\)

Lại có \(\frac{{BM}}{{BN}} = \frac{{BE}}{{BC}}\) (do tam giác \(BEM\) và tam giác \(BCN\) đồng dạng)

\( \Rightarrow \Delta BEC \sim \Delta BMN \Rightarrow \angle BMN = \angle BEC = {90^0}\).

Vậy \(\angle BMN = {90^0}\,\,\left( {dpcm} \right)\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link