Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ

Câu hỏi số 344793:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và điểm \(M\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\). Kẻ hai tiếp tuyến \(MB;\,MC\)(B và C là các tiếp điểm) với đường tròn. Trên cung lớn BC lấy điểm A sao cho \(AB < AC\). Từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AB, đường thẳng này cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(D\) và \(E\,\left( {MD < ME} \right)\) , cắt BC tại F, cắt AC tại I.

a) Chứng minh tứ giác \(MBOC\) nội tiếp.

b) Chứng minh \(FD.FE = FB.FC;\,\,FI.FM = FD.FE\)

c) Đường thẳng \(OI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(P\) và \(Q\) (P thuộc cung nhỏ AB). Đường thẳng \(QF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại K (K khác Q). Chứng minh 3 điểm \(P,\,K,\,M\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:344793

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác nội tiếp nhờ các dấu hiệu nhận biết.

b) Chứng minh các tam giác đồng dạng từ đó suy ra các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và suy ra các đẳng thức cần chứng minh.

c) Chứng minh \(\angle MKP = {180^0}\) rồi suy ra ba điểm \(M,\,\,K,\,\,P\) thẳng hàng.

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác\(MBOC\) nội tiếp.

Do \(MB,\,\,MC\) là 2 tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right) \Rightarrow \angle OBM = \angle OCM = {90^0}\).

Xét tứ giác \(MBOC\) có: \(\angle OBM + \angle OCM = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(MBOC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

b) Chứng minh \(FD.FE = FB.FC,\,\,FI.FM = FD.FE\).

+) Xét tam giác \(FBD\) và tam giác \(FEC\) có:

\(\angle BFD = \angle EFC\) (đối đỉnh);

\(\angle FDB = \angle FCE\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(BE\));

\( \Rightarrow \Delta FBD \sim \Delta FEC\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{FB}}{{FE}} = \frac{{FD}}{{FC}} \Rightarrow FD.FE = FB.FC\,\,\left( 1 \right)\).

+) Ta có: \(AB//ME \Rightarrow \angle BAC = \angle DIC\) (đồng vị).

Mà \(\angle BAC = \angle MBC\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung BC).

\( \Rightarrow \angle DIC = \angle MBC \Rightarrow \angle MBF = \angle CIF\,\,\left( * \right)\).

Xét tam giác \(FBM\) và tam giác \(FIC\) có :

\(\angle BFM = \angle IFC\) (đối đỉnh) ;

\(\angle MBF = \angle CIF\,\,\left( {cmt} \right);\)

\( \Rightarrow \Delta FBM \sim \Delta FIC\,\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{FB}}{{FI}} = \frac{{FM}}{{FC}}\) (hai cạnh tương ứng).

\( \Rightarrow FI.FM = FB.FC\,\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow FI.FM = FD.FE\,\,\left( 3 \right)\).

c) Đường thẳng \(OI\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(P\) và \(Q\) (\(P\) thuộc cung nhỏ \(AB\)). Đường thẳng \(QF\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(K\) (K khác Q). Chứng minh 3 điểm \(P,\,\,K,\,\,M\) thẳng hàng.

Xét tam giác \(FDK\) và tam giác \(FQE\) có:

\(\angle KFD = \angle EFQ\) (đối đỉnh);

\(\angle FKD = \angle FEQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(DQ\));

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \Delta FKD \sim \Delta FEQ\,\,\left( {g.g} \right)\\ \Rightarrow \frac{{FK}}{{FE}} = \frac{{FD}}{{FQ}} \Rightarrow FD.FE = FK.FQ\,\,\left( 4 \right)\end{array}\)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow FI.FM = FK.FQ \Leftrightarrow \frac{{FM}}{{FQ}} = \frac{{FK}}{{FI}}\).

Xét tam giác \(FMQ\) và tam giác \(FKI\) có:

\(\frac{{FM}}{{FQ}} = \frac{{FK}}{{FI}}\,\,\left( {cmt} \right);\)

\(\angle MFQ = \angle KFI\) (đối đỉnh);

\( \Rightarrow \Delta FMQ \sim \Delta FKI\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle FMQ = \angle FKI \Rightarrow \) Tứ giác \(KIQM\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle MKQ = \angle MIQ\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MQ\)).

Theo (*) ta đã chứng minh được \(\angle MBF = \angle CIF \Rightarrow \angle MBC = \angle MIF \Rightarrow \) Tứ giác \(MBIC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).

Mà \(MOBC\) là tứ giác nội tiếp \( \Rightarrow M,\,\,B,\,\,O,\,\,I,\,\,C\) cùng thuộc 1 đường tròn.

Ta có \(\angle OBM = {90^0}\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow OM\) là đường kính của đường tròn đi qua 5 điểm \(M,\,\,B,\,\,O,\,\,I,\,\,C\).

\( \Rightarrow \angle OIM = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow IM \bot OI \Rightarrow \angle MIQ = {90^0}\).

Từ (5) \( \Rightarrow \angle MKQ = \angle MIQ = {90^0}\).

Lại có \(\angle QKP = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Từ đó ta có: \(\angle MKP = \angle MKQ + \angle QKP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Vậy 3 điểm \(P,\,\,K,\,\,M\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link