Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 2mx - {m^2} + 1\) và parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}.\)

a) Chứng minh \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1.\)

Chọn đáp án đúng nhất:

Câu 344817: Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) cho đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = 2mx - {m^2} + 1\) và parabol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}.\)

a) Chứng minh \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1.\)

A. \({\rm{b)}}\,\,m = 2\)

B. \({\rm{b)}}\,\,m = 3\)

C. \({\rm{b)}}\,\,m = 1\)

D. \({\rm{b)}}\,\,m = - 1\)

Xem lời giải

Câu hỏi : 344817

Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm.

a) Hai đồ thị hàm số cắt nhau tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0.\)

b) Sử dụng định lý Vi-et.

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = 2mx - {m^2} + 1\)

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(\left( d \right)\) và parabol \(\left( P \right)\) ta có

\({x^2} = 2mx - {m^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\,\,\left( * \right)\)

Số giao điểm của (d) và (P) cũng chính là số nghiệm của phương trình (*)

Phương trình \(\left( * \right)\) có \(\Delta ' = {m^2} - \left( {{m^2} - 1} \right) = 1 > 0\)

a) Vì \(\Delta ' > 0\) nên phương trình \(\left( * \right)\) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi \(m\) hay đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

b) Theo câu a) ta có đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn cắt parabol \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Gọi \({x_1};{x_2}\) là hoành độ giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( P \right)\) thì \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( * \right)\)

Theo hệ thức Vi-et ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m\\{x_1}{x_2} = {m^2} - 1\end{array} \right.\)

Xét \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + 1\)

ĐK: \({x_1}{x_2} \ne 0 \Leftrightarrow {m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \pm 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{{ - 2}}{{{x_1}{x_2}}} + \frac{{{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x_1} + {x_2} = - 2 + {x_1}{x_2}\\ \Leftrightarrow 2m = - 2 + {m^2} - 1\\ \Leftrightarrow {m^2} - 2m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 3m + m - 3 = 0\\ \Leftrightarrow m\left( {m - 3} \right) + \left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m + 1 = 0\\m - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\m = 3\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m = 3\) là giá trị thỏa mãn điều kiện đề bài.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

Tham Gia Group 2K9 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.