Trong các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\dfrac{{\left( {12 - 5i} \right)z + 17 + 7i}}{{z - 2 - i}}} \right|

Câu hỏi số 348608:

Vận dụng

Trong các số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {\dfrac{{\left( {12 - 5i} \right)z + 17 + 7i}}{{z - 2 - i}}} \right| = 13\). Tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\).

A. \(\dfrac{{3\sqrt {13} }}{{26}}\)

B. \(\dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:348608

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\dfrac{{\left( {12 - 5i} \right)z + 17 + 7i}}{{z - 2 - i}}} \right| = 13\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {12 - 5i} \right)z + 17 + 7i} \right| = 13\left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left( {12 - 5i} \right)\left( {z + \dfrac{{17 + 7i}}{{12 - 5i}}} \right)} \right| = 13\left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {12 - 5i} \right|.\left| {z + 1 + i} \right| = 13\left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {z + 1 + i} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\end{array}\)

Đặt \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {a + bi + 1 + i} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} + {\left( {b + 1} \right)^2} = {\left( {a - 2} \right)^2} + {\left( {b - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 2a + 1 + 2b + 1 = - 4a + 4 - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 6a + 4b - 3 = 0\end{array}\)

Do đó tập hợp các điểm biểu diễn số phức \(z\) là đường thẳng \(\left( d \right):\,\,6x + 4y - 3 = 0\).

Gọi \(M\) là điểm biểu diễn số phức \(z\). Ta có \({\left| z \right|_{\min }} \Leftrightarrow O{M_{\min }} \Leftrightarrow OM = d\left( {O;d} \right)\).

Vậy \({\left| z \right|_{\min }} = d\left( {O;d} \right) = \dfrac{{\left| {6.0 + 4.0 - 3} \right|}}{{\sqrt {{6^2} + {4^2}} }} = \dfrac{3}{{2\sqrt {13} }} = \dfrac{{3\sqrt {13} }}{{26}}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.