Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh a. Tính độ dài của \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} .\)

Câu 349739: Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh a. Tính độ dài của \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} .\)

A. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{3}\)

B. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{2}\)

C. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{4}\)

D. \(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}\)

Câu hỏi : 349739

Phương pháp giải:

Gọi \(N\) là trung điểm \(AB\), \(Q\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\) và \(P\) là đỉnh của hình bình hành \(AQPN\)để áp dụng quy tắc hình bình hành. Gọi \(L\) là hình chiếu của \(A\) lên \(QN\) để tính.

Đáp án : B
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:

Gọi \(N\) là trung điểm \(AB\), \(Q\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\) và \(P\) là đỉnh của hình bình hành \(AQPN\).

Khi đó ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AN} ,\,\,2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AQ} \)

Suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AP} \)

Gọi \(L\) là hình chiếu của \(A\) lên \(PN.\)

Vì \(MN//AC \Rightarrow \angle ANL = \angle MNB = \angle CAB = {60^0}\)

Xét tam giác vuông \(ANL\) ta có \(\begin{array}{l}\sin \angle ANL = \frac{{AL}}{{AN}} \Rightarrow AL = AN.\sin \angle ANL = \frac{a}{2}\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\\cos \angle ANL = \frac{{NL}}{{AN}} \Rightarrow NL = AN.\cos \angle ANL = \frac{a}{2}\cos {60^0} = \frac{a}{4}\end{array}\)

Ta lại có: \(AQ = PN \Rightarrow PL = PN + NL = AQ + NL = 2a + \frac{a}{4} = \frac{{9a}}{4}\)

Áp dụng định lí Pitago trong tam giác \(ALP\) ta có:

\(A{P^2} = A{L^2} + P{L^2} = \frac{{3{a^2}}}{{16}} + \frac{{81{a^2}}}{{16}} = \frac{{21{a^2}}}{4} \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}\)

Vậy \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = AP = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}.\)

Chọn B.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây