Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh a. Tính độ dài của \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow
Cho tam giác đều \(ABC\) cạnh a. Tính độ dài của \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} .\)
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Gọi \(N\) là trung điểm \(AB\), \(Q\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\) và \(P\) là đỉnh của hình bình hành \(AQPN\)để áp dụng quy tắc hình bình hành. Gọi \(L\) là hình chiếu của \(A\) lên \(QN\) để tính.
Gọi \(N\) là trung điểm \(AB\), \(Q\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(C\) và \(P\) là đỉnh của hình bình hành \(AQPN\).
Khi đó ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AN} ,\,\,2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AQ} \)
Suy ra theo quy tắc hình bình hành ta có: \(\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AN} + \overrightarrow {AQ} = \overrightarrow {AP} \)
Gọi \(L\) là hình chiếu của \(A\) lên \(PN.\)
Vì \(MN//AC \Rightarrow \angle ANL = \angle MNB = \angle CAB = {60^0}\)
Xét tam giác vuông \(ANL\) ta có \(\begin{array}{l}\sin \angle ANL = \frac{{AL}}{{AN}} \Rightarrow AL = AN.\sin \angle ANL = \frac{a}{2}\sin {60^0} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\\\cos \angle ANL = \frac{{NL}}{{AN}} \Rightarrow NL = AN.\cos \angle ANL = \frac{a}{2}\cos {60^0} = \frac{a}{4}\end{array}\)
Ta lại có: \(AQ = PN \Rightarrow PL = PN + NL = AQ + NL = 2a + \frac{a}{4} = \frac{{9a}}{4}\)
Áp dụng định lí Pitago trong tam giác \(ALP\) ta có:
\(A{P^2} = A{L^2} + P{L^2} = \frac{{3{a^2}}}{{16}} + \frac{{81{a^2}}}{{16}} = \frac{{21{a^2}}}{4} \Rightarrow AP = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}\)
Vậy \(\left| {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AC} } \right| = AP = \frac{{a\sqrt {21} }}{2}.\)
Chọn B.
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
