Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ 2 tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với
Từ điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn \(\left( O \right)\) kẻ 2 tiếp tuyến \(AB,\,\,AC\) với đường tròn (\(B,\,\,C\) là các tiếp điểm). Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng \(AO\) chứa điểm \(B\) vẽ cát tuyến \(AMN\) với đường tròn \(\left( O \right)\) (\(AM < AN\), MN không đi qua O). Gọi I là trung điểm của MN.
1) Chứng minh: Tứ giác \(AIOC\) là tứ giác nội tiếp.
2) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh \(AH.AO = AM.AN\) và tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp.
3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF.
Quảng cáo
1) Chứng minh tứ giác nội tiếp nhờ các dấu hiệu nhận biết.
2) Chứng minh các cặp tam giác đồng dạng từ đó suy ra đẳng thức đề bài yêu cầu.
+) Từ các tam giác giác đồng dạng suy ra cặp góc tương ứng bằng nhau, từ đó chứng minh tứ giác nội tiếp theo dấu hiệu nhận biết.
3) Sử dụng tính chất của tia phân giác.
1) Chứng minh: Tứ giác \(AIOC\) là tứ giác nội tiếp.
Do \(I\) là trung điểm của \(MN \Rightarrow OI \bot MN \Rightarrow \angle OIA = {90^0}\).
Xét tứ giác \(AIOC\) có \(\angle OIA + \angle OCA = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(AIOC\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
2) Gọi H là giao điểm của AO và BC. Chứng minh \(AH.AO = AM.AN\) và tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp.
Xét tam giác \(ABM\) và tam giác \(ANB\) có:
\(\angle BAN\) chung;
\(\angle ABM = \angle ANB\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung \(BM\));
\( \Rightarrow \Delta ABM \sim \Delta ANB\,\,\left( {g.g} \right) \Rightarrow \frac{{AB}}{{AN}} = \frac{{AM}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2} = AM.AN\,\,\,\left( 1 \right)\).
Ta có: \(OB = OC\,\,\left( { = R} \right) \Rightarrow O\) thuộc trung trực của \(BC\).
\(AB = AC\) (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) \( \Rightarrow A\) thuộc trung trực của \(BC\).
\( \Rightarrow OA\) là trung trực của \(BC \Rightarrow OA \bot BC\) tại H.
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OAB (đường cao OH) ta có: \(A{B^2} = AH.AO\,\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) suy ra: \(AH.AO = AM.AN\).
\(AH.AO = AM.AN \Rightarrow \frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AO}}{{AN}}\).
Xét tam giác \(AMH\) và tam giác \(AON\) có:
\(\angle OAN\) chung;
\(\frac{{AM}}{{AH}} = \frac{{AO}}{{AN}}\,\,\left( {cmt} \right)\);
\( \Rightarrow \Delta AMH \sim \Delta AON\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \angle AHM = \angle ANO\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).
3) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN, cắt AB và BC theo thứ tự tại E và F. Chứng minh rằng M là trung điểm của EF.
Gọi \(K = AN \cap BC\).
Tứ giác MNOH là tứ giác nội tiếp (cmt) \( \Rightarrow \angle OHN = \angle OMN\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ON).
Mà \(OM = ON \Rightarrow \Delta OMN\) cân tại \(O \Rightarrow \angle OMN = \angle ONM\).
\( \Rightarrow \angle OHN = \angle ONM\).
Lại có \(\angle ONM = \angle AHM\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
\( \Rightarrow \angle OHN = \angle AHM \Rightarrow {90^0} - \angle OHN = {90^0} - \angle AHM \Rightarrow \angle NHB = \angle MHB\).
\( \Rightarrow HB\) là phân giác trong của \(\angle MHN\), mà \(AH \bot HB\,\,\left( {OA \bot BC} \right) \Rightarrow AH\) là phân giác ngoài của \(\angle MHN\).
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có : \(\frac{{HM}}{{HN}} = \frac{{KM}}{{KN}} = \frac{{AM}}{{AN}}\,\,\left( 3 \right)\).
Do \(MF//BN \Rightarrow \) Áp dụng định lí Ta-lét ta có : \(\frac{{MF}}{{BN}} = \frac{{KM}}{{KN}};\,\,\frac{{AM}}{{AN}} = \frac{{ME}}{{BN}}\,\,\,\left( 4 \right)\).
Từ (3) và (4) \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{BN}} = \frac{{MF}}{{BN}} \Rightarrow ME = MF\).
Vậy \(M\) là trung điểm của \(EF\,\,\left( {dpcm} \right)\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
