Cho đường thẳng \(d:\,\,2x + y - 4 = 0\) và \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1; - 6} \right).\) Tìm

Câu hỏi số 350977:

Vận dụng

Cho đường thẳng \(d:\,\,2x + y - 4 = 0\) và \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1; - 6} \right).\) Tìm điểm \(M \in d\) thỏa mãn \(MA + MB\) nhỏ nhất.

A. \( M\left( {-\frac{{37}}{{13}}; \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

B. \( M\left( {\frac{{37}}{{13}}; \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

C. \( M\left( {\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

D. \( M\left( {-\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350977

Phương pháp giải

Xét xem điểm có nằm cùng phía với \(d\) hay không.

TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:

+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\)

TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:

+) \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(MA' + MB \ge A'B \Leftrightarrow MA + MB \ge A'B\)

\( \Rightarrow \left( {MA + MB} \right)\,\,\,Min \Leftrightarrow MA' + MB = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Giải chi tiết

Ta có: \(M \in d \Rightarrow M\left( {4 - 2m;\,\,m} \right).\)

Thay tọa độ điểm \(A\left( {4;\,\,1} \right),\,\,B\left( {1;\,\, - 6} \right)\) vào biểu thức \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 2x + y - 4\) ta được:

\(\left( {2.4 + 1 - 4} \right)\left( {2.1 - 6 - 4} \right) = 5.\left( { - 8} \right) = - 40 < 0\)

\( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\)

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(MA + MB \ge AB.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

Phương trình đường thẳng \(AB:\,\,\frac{{x - 4}}{{1 - 4}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6 - 1}} \Leftrightarrow 7\left( {x - 4} \right) = 3\left( {y - 1} \right) \Leftrightarrow 7x - 3y - 25 = 0.\)

Khi đó tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 4 = 0\\7x - 3y - 25 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{37}}{{13}}\\y = - \frac{{22}}{{13}}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{{37}}{{13}}; - \frac{{22}}{{13}}} \right).\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.