Cho \(A\left( {3;\,\,4} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\,1} \right),\,\,E\left( {1;\,\,0} \right),\,\,F\left( {0;\,\,3}

Câu hỏi số 350978:

Vận dụng

Cho \(A\left( {3;\,\,4} \right),\,\,B\left( { - 2;\,\,1} \right),\,\,E\left( {1;\,\,0} \right),\,\,F\left( {0;\,\,3} \right).\) Tìm điểm \(M\) thẳng hàng với 2 điểm \(E,\,\,F\) sao cho \(\left| {MA - MB} \right|\) lớn nhất.

A. \(M\left( {-2;\, 3} \right)\)

B. \(M\left( {-2;\, - 3} \right)\)

C. \(M\left( {2;\, 3} \right)\)

D. \(M\left( {2;\, - 3} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:350978

Phương pháp giải

Lập phương trình đường thẳng \(d\) đi qua hai điểm \(E,\,\,F.\)

Xét xem điểm \(A,\,\,B\) có nằm cùng phía với \(d\) hay không.

TH1: Nếu \(A,\,\,B\) nằm cùng phía với \(d\) ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA - MB} \right| \le AB \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right|\,\,\,Max = AB\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\) với \(\left\{ {{M_0}} \right\} = AB \cap d.\)

\( \Rightarrow A,\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap AB = \left\{ M \right\}.\)

TH2: Nếu \(A,\,\,B\) nằm khác phía với \(d\) ta làm như sau:

+) Suy ra tọa độ tổng quát của điểm \(M.\)

+) Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

+) Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Giải chi tiết

Phương trình đường thẳng \(d\) đi qua \(E,\,\,F\) là: \(d:\,\,\frac{{x - 1}}{{0 - 1}} = \frac{{y - 0}}{{3 - 0}} \Leftrightarrow 3\left( {x - 1} \right) = - y \Leftrightarrow 3x + y - 3 = 0.\)

Thay tọa độ điểm \(A,\,\,B\) vào biểu thức: \(f\left( {x;\,\,y} \right) = 3x + y - 3\) ta được:

\(\left( {3.3 + 4 - 3} \right)\left( {3.\left( { - 2} \right) + 1 - 3} \right) = 10.\left( { - 8} \right) = - 80 < 0\)

\( \Rightarrow A,\,\,B\) nằm khác phía với đường thẳng \(d.\)

Gọi \(A'\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(d.\)

Phương trình đường thẳng \(AA'\) đi qua \(A\) và vuông góc với \(d\) là:

\(x - 3 - 3\left( {y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 9 = 0.\)

Gọi \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(AA'.\) Khi đó \(I\) là trung điểm của\(AA'\) và tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 3 = 0\\x - 3y + 9 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {0;\,\,3} \right).\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_I} - {x_A} = 2.0 - 3 = - 3\\{y_{A'}} = 2{y_I} - {y_A} = 2.3 - 4 = 2\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( { - 3;\,\,2} \right).\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức trong tam giác ta có: \(\left| {MA' - MB} \right| \le A'B \Leftrightarrow \left| {MA - MB} \right| \le A'B\)

\( \Rightarrow \left| {MA + MB} \right|\,\,\,Max \Leftrightarrow \left| {MA' - MB} \right|{\kern 1pt} \,\,\,Max = A'B.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow M \equiv {M_0}\,\,\,\,\,\left( {\left\{ {{M_0}} \right\} = A'B \cap d} \right).\)

\( \Rightarrow A',\,\,B,\,\,M\) thẳng hàng hay \(d \cap A'B = \left\{ M \right\}.\)

Phương trình đường thẳng \(A'B:\,\,\,\frac{{x + 3}}{{ - 2 + 3}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow - x - 3 = y - 2 \Leftrightarrow x + y + 1 = 0.\)

\( \Rightarrow \) Tọa độ điểm \(M\) là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y + 1 = 0\\3x + y - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = - 3\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;\, - 3} \right).\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10