Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên). Khoảng cách từ \(D\) đến mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng lý thuyết:
Khi đó: \(\dfrac{{d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right)}}{{d\left( {H,\left( \alpha \right)} \right)}} = \dfrac{{IA}}{{IH}} \Rightarrow {\rm{ }}d\left( {A,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{IA}}{{IH}}.d\left( {H,\left( \alpha \right)} \right)\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) \( \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \( \Rightarrow OB = OD \Rightarrow d\left( {D,\left( {SAC} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right)\).
Lại có \(BA = 2HA \Rightarrow d\left( {B,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {D,\left( {SAC} \right)} \right) = 2d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AO\), \(K\) là hình chiếu của \(H\) lên \(SM\) thì \(HM//BO \Rightarrow HM \bot AC\).
Mà \(AC \bot SH \Rightarrow AC \bot \left( {SHM} \right) \Rightarrow AC \bot HK\)
\( \Rightarrow HK \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow d\left( {H,\left( {SAC} \right)} \right) = HK\).
Tam giác \(SAB\) đều cạnh \(a\) nên \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\); \(HM = \dfrac{1}{2}BO = \dfrac{1}{4}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\).
Tam giác \(SHM\) vuông tại \(H\) có đường cao \(HK\) nên
\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{M^2}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{2{a^2}}}{{16}}}} = \dfrac{{28}}{{3{a^2}}}\\ \Rightarrow HK = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{{28}}} = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{{14}} \Rightarrow {\rm{d}}\left( {D;\left( {SAC} \right)} \right) = 2HK = \dfrac{{\sqrt {21} a}}{7}\end{array}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
