Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 6 \right) = 1\)

Câu hỏi số 351151:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(f\left( 6 \right) = 1\) và \(\int\limits_0^1 {xf\left( {6x} \right)dx} = 1\), khi đó \(\int\limits_0^6 {{x^2}f'\left( x \right)dx} \) bằng

\(\dfrac{{107}}{3}\)

B. \(34\)

C. \(24\)

D. \( - 36\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351151

Phương pháp giải

Sử dụng kết hợp các phương pháp đổi biến và từng phần để tính tích phân.

Giải chi tiết

Đặt \(t = 6x \Rightarrow dt = 6dx \Rightarrow dx = \dfrac{{dt}}{6}\).

Khi đó \(1 = \int\limits_0^1 {xf\left( {6x} \right)dx} = \int\limits_0^6 {\dfrac{1}{6}t.f\left( t \right).\dfrac{{dt}}{6}} = \dfrac{1}{{36}}\int\limits_0^6 {t.f\left( t \right)dt} \) \( \Rightarrow \int\limits_0^6 {xf\left( x \right)dx} = 1.36 = 36\).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} = u\\f'\left( x \right)dx = dv\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = 2xdx\\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^6 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = \left. {{x^2}f\left( x \right)} \right|_0^6 - \int\limits_0^6 {2xf\left( x \right)dx} = 36f\left( 6 \right) - 2\int\limits_0^6 {xf\left( x \right)dx} = 36.1 - 2.36 = - 36\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.