Cho phương trình \(\left( {2\log _2^2x - 3{{\log }_2}x - 2} \right)\sqrt {{3^x} - m} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?

Câu 351474: Cho phương trình \(\left( {2\log _2^2x - 3{{\log }_2}x - 2} \right)\sqrt {{3^x} - m} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?

A. \(79\).

B. \(80\).

C. Vô số.

D. \(81\).

Câu hỏi : 351474

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ.

- Giải phương trình đã cho tìm nghiệm và biện luận số nghiệm của phương trình.

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình \(\left( {2\log _2^2x - 3{{\log }_2}x - 2} \right)\sqrt {{3^x} - m} = 0\)\(\left( 1 \right)\).

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{{3^x} - m \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x \ge {{\log }_3}m\;\;\;\left( {{\rm{do}}\;\,m > 0} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\log _2^2x - 3{{\log }_2}x - 2 = 0}\\{\sqrt {{3^x} - m} = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}x = 2}\\{{{\log }_2}x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow }\\{{3^x} = m}\end{array}} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{x = {{\log }_3}m\,\,\left( * \right)}\end{array}} \right..\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt, ta có các trường hợp sau:

TH1: Phương trình (*) có nghiệm \(x = {\log _3}m \le 0\) \( \Rightarrow 0 < m \le 1\) mà \(m\) nguyên dương nên \(m = 1\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \(x = 4;x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

TH2: Với \(m > 1\) thì \(x = {\log _3}m > 0\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \le {\log _3}m < 4\)\( \Leftrightarrow {3^{\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}} \le m < {3^4}\)

Do \(m\) nguyên dương \( \Rightarrow \) \(m \in \{ 3;4;5; \ldots ;80\} \).

Vậy có tất cả \(1 + 80 - 3 + 1 = 79\) giá trị \(m\) nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.