Cho phương trình \(\left( {2\log _2^2x - 3{{\log }_2}x - 2} \right)\sqrt {{3^x} - m} = 0\) (\(m\) là tham số

Câu hỏi số 351474:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\left( {2\log _2^2x - 3{{\log }_2}x - 2} \right)\sqrt {{3^x} - m} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt?

A. \(79\).

B. \(80\).

C. Vô số.

D. \(81\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:351474

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Giải phương trình đã cho tìm nghiệm và biện luận số nghiệm của phương trình.

Giải chi tiết

Xét phương trình \(\left( {2\log _2^2x - 3{{\log }_2}x - 2} \right)\sqrt {{3^x} - m} = 0\)\(\left( 1 \right)\).

Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{{3^x} - m \ge 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\\{x \ge {{\log }_3}m\;\;\;\left( {{\rm{do}}\;\,m > 0} \right)}\end{array}} \right.\).

Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\log _2^2x - 3{{\log }_2}x - 2 = 0}\\{\sqrt {{3^x} - m} = 0}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{\log }_2}x = 2}\\{{{\log }_2}x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow }\\{{3^x} = m}\end{array}} \right.\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}\\{x = {{\log }_3}m\,\,\left( * \right)}\end{array}} \right..\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt, ta có các trường hợp sau:

TH1: Phương trình (*) có nghiệm \(x = {\log _3}m \le 0\) \( \Rightarrow 0 < m \le 1\) mà \(m\) nguyên dương nên \(m = 1\)

Vậy với \(m = 1\) thì phương trình (1) có hai nghiệm \(x = 4;x = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\)

TH2: Với \(m > 1\) thì \(x = {\log _3}m > 0\)

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \le {\log _3}m < 4\)\( \Leftrightarrow {3^{\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}}} \le m < {3^4}\)

Do \(m\) nguyên dương \( \Rightarrow \) \(m \in \{ 3;4;5; \ldots ;80\} \).

Vậy có tất cả \(1 + 80 - 3 + 1 = 79\) giá trị \(m\) nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòng- Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.