Cho hai hàm số \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}}\) và \(y = \left| {x + 1} \right| - x + m\) (\(m\) là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

Câu 351477: Cho hai hàm số \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}}\) và \(y = \left| {x + 1} \right| - x + m\) (\(m\) là tham số thực) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\). Tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) cắt nhau tại đúng bốn điểm phân biệt là

A. \(\left( {3\,;\, + \infty } \right)\).

B. \(\left( { - \infty \,;\,3} \right]\).

C. \(\left( { - \infty \,;\,3} \right)\).

D. \(\left[ {3\,;\, + \infty } \right)\).

Câu hỏi : 351477

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Biến đổi phương trình về \(m = f\left( x \right)\).

- Xét hàm \(y = f\left( x \right)\) và sử dụng mối quan hệ giữa số nghiệm của phương trình với số giao điểm của đồ thị hàm số với đường thẳng tìm \(m\).

Sử dụng công thức đạo hàm \({\left( {\left| u \right|} \right)^\prime } = \dfrac{u}{{\left| u \right|}}\)

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình hoành độ giao điểm: \(\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} = \left| {x + 1} \right| - x + m\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Điều kiện: \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1\,; - 2\,; - 3\,; - 4} \right\}\).

Từ \(\left( * \right)\) ta có \(m = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} + x - \left| {x + 1} \right|\).

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} + x - \left| {x + 1} \right|\) và đường thẳng \(y = m\).

Xét hàm số \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} + x - \left| {x + 1} \right|\)

Ta có \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} + 1 - \dfrac{{x + 1}}{{\left| {x + 1} \right|}}\)

Nhận thấy \(\left| {x + 1} \right| > x + 1\,\,\forall x \ne - 1 \Rightarrow \left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right) > 0\,\,\forall x \ne - 1\).

Do đó \(y' = \dfrac{1}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {x + 4} \right)}^2}}} + \dfrac{{\left| {x + 1} \right| - \left( {x + 1} \right)}}{{\left| {x + 1} \right|}} > 0\)\(\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1\,; - 2\,; - 3\,; - 4} \right\}\).

Ta có BBT của hàm số \(y = \dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{x + 1}}{{x + 2}} + \dfrac{{x + 2}}{{x + 3}} + \dfrac{{x + 3}}{{x + 4}} + x - \left| {x + 1} \right|\)

Từ bảng biến thiên, để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì \(m \ge 3\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.