Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\,\angle B = {60^0}\) . Vẽ \(AH \bot BC\) tại \(H\). Trên cạnh \(AC\)

Câu hỏi số 352567:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\,\angle B = {60^0}\) . Vẽ \(AH \bot BC\) tại \(H\). Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(D\) sao cho \(AD = AH.\) Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(HD.\)

a) Chứng minh \(\Delta AHI = \Delta ADI.\)

b) Tia \(AI\) cắt cạnh \(HC\) tại điểm \(K.\) Chứng minh \(\Delta AHK = \Delta ADK\) từ đó suy ra \(AB//KD.\)

c) Trên tia đối của tia \(HA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(HE = AH\) . Chứng minh \(H\) là trung điểm của \(BK\) và ba điểm \(D,K,E\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:352567

Phương pháp giải

a) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – cạnh – cạnh.

b) Chứng minh hai tam giác bằng nhau theo trường hợp cạnh – góc – cạnh.

Từ đó suy ra \(KD \bot AC\) kết hợp với \(AB \bot AC\) ta suy ra: \(AB//KD\).

c) Chứng minh \(\Delta HAB\) và \(\Delta HEK\) bằng nhau theo trường hợp góc-cạnh-góc.

Từ đó suy ra \(HB = HK\) \( \Rightarrow H\) là trung điểm của \(BK\).

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(\Delta AHI = \Delta ADI.\)

Xét \(\Delta AHI\) và \(\Delta ADI\) ta có:

\(\begin{array}{l}AH = AD\left( {gt} \right)\\AI\,\,chung\\IH = ID\,\,\left( {do\,I\,la\,trung\,diem\,cua\,HD} \right)\\ \Rightarrow \Delta AHI = \Delta ADI\,\,\,\,\left( {c.c.c} \right)\end{array}\)

b) Xét \(\Delta AHK\)và \(\Delta ADK\) ta có:

\(\begin{array}{l}AK\,chung\\AH = AD\left( {gt} \right)\\\angle HAI = \angle DAI\,\,\left( {do\,\Delta AHI = \Delta ADI\,\left( {cmt} \right)} \right)\\ \Rightarrow \Delta AHK = \Delta ADK\,\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle D = \angle H = {90^0}\) (góc tương ứng)

\( \Rightarrow KD \bot AC\,\,\left( 1 \right)\)

Mà \(AB \bot AC\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\,\,\,\,\,\,\left( {do\,\Delta ABC\,vuong\,tai\,A} \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(AB//KD.\)

c) Vì \(KD//AB\,\,\left( {cmt} \right)\) do đó : \(\angle ABK + \angle BKD = {180^0}\) (hai góc ở vị trí trong cùng phía thì bù nhau)

mà \(\angle ABK = {60^{0\,}}\,\,\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle BKD = {180^0} - {60^0} = {120^0}\)

Lại có : \(\Delta AHK = \Delta ADK \Rightarrow \angle HKA = \angle DKA\) (góc tương ứng)

\(\begin{array}{l}\angle BKD = \angle HKA + \angle DKA = {120^0}\\ \Rightarrow \angle HKA = \angle DKA = \frac{{{{120}^0}}}{2} = {60^0}\\\angle BKA = \angle HKA = {60^0}\end{array}\)

Tam giác \(ABK\) có \(\angle ABK = \angle BKA = {60^0}\)

\( \Rightarrow \Delta ABK\) là tam giác đều, \(AH\) là đường cao đồng thời là đường trung tuyến do đó : \(H\) là trung điểm của \(BK\).

Xét \(\Delta HKA\) và \(\Delta HKE\) ta có :

\(\begin{array}{l}HK\,chung\\HA = HE\left( {gt} \right)\\\angle AHK = \angle EHA = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta HKA = \Delta HKE\left( {c.g.c} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \angle HKA = \angle HKA\) (góc tương ứng).

Mà \(\angle HKA = {60^0} \Rightarrow \angle HKE = {60^0}\)

Lại có : \(\angle DKE = \angle DKA + \angle HKA + \angle HKE = {60^0} + {60^0} + {60^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow D,\,K,\,E\) là ba điểm thẳng hàng.

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link