Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

Câu hỏi số 353126:

Thông hiểu

Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(2{\sin ^2}x + 3\cos x - 3 = 0\). Giá trị của \(M + m\) là:

A. \( - \dfrac{\pi }{6}\)

B. \(0\)

C. \(\dfrac{\pi }{6}\)

D. \( - \dfrac{\pi }{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353126

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}2{\sin ^2}x + 3\cos x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {1 - {{\cos }^2}x} \right) + 3\cos x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2 - 2{\cos ^2}x + 3\cos x - 3 = 0\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\,\,\left( {a + b + c = 0} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x = \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \\x = - \dfrac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k;m;n \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét \(\left\{ \begin{array}{l} k2\pi > 0\\\dfrac{\pi }{3} + m2\pi > 0\\ - \dfrac{\pi }{3} + n2\pi > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k > 0\\m > - \dfrac{1}{6}\\n > \dfrac{1}{6}\end{array} \right.\,\,\left( {k;m;n \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_{\min }} = 1\\{m_{\min }} = 0\\{n_{\min }} = 1\end{array} \right.\).

Chọn \(k = 1;\,\,m = 0;\,\,n = 1\) ta lần lượt có các nghiệm \(x =2 \pi ;\,\,x = \dfrac{\pi }{3};\,\,x = \dfrac{{5\pi }}{3} \Rightarrow \) Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x = \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow M = \dfrac{\pi }{3}\).

Xét \(\left\{ \begin{array}{l} k2\pi < 0\\\dfrac{\pi }{3} + m2\pi < 0\\ - \dfrac{\pi }{3} + n2\pi < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k < 0\\m < - \dfrac{1}{6}\\n < \dfrac{1}{6}\end{array} \right.\,\,\left( {k;m;n \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{k_{\max }} = - 1\\{m_{\max }} = - 1\\{n_{\max }} = 0\end{array} \right.\).

Chọn \(k = - 1;\,\,m = - 1;\,\,n = 0\) ta lần lượt có các nghiệm \(x = - 3\pi ;\,\,x = - \dfrac{{5\pi }}{3};\,\,x = - \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow \) Nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho là \(x = - \dfrac{\pi }{3} \Rightarrow m = - \dfrac{\pi }{3}\).

Vậy \(M + m = \dfrac{\pi }{3} + \left( { - \dfrac{\pi }{3}} \right) = 0\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.