Số nghiệm chung của hai phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) và \(2\sin x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) bằng:

Câu 353127: Số nghiệm chung của hai phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) và \(2\sin x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) bằng:

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Câu hỏi : 353127

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Đáp án : A
(23) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
* Xét phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} < k < \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{6}\).

Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{5}{6}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{6}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3} < k < \dfrac{1}{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).

Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < - \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{7}{6}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\).

Vậy các nghiệm của phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) là \(x \in \left\{ { \pm \dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6};\dfrac{{7\pi }}{6}} \right\}\).

* Xét phương trình \(2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\).

Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{5}{6}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{6}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{5}{6} < k < \dfrac{1}{6}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\).

Vậy các nghiệm của phương trình \(2\sin x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) là \(x \in \left\{ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{{7\pi }}{6}} \right\}\).

Do đó số nghiệm chung của hai phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) và \(2\sin x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) là 2.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.