Số nghiệm chung của hai phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) và \(2\sin x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( {

Câu hỏi số 353127:

Thông hiểu

Số nghiệm chung của hai phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) và \(2\sin x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) bằng:

A. \(2\)

B. \(4\)

C. \(3\)

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353127

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \({\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\), đưa phương trình về dạng phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

Giải chi tiết

* Xét phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0 \Leftrightarrow {\cos ^2}x = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\\\cos x = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \pm \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \pm \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{3} < k < \dfrac{2}{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{6}\).

Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{5}{6}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = - \dfrac{\pi }{6}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{2}{3} < k < \dfrac{1}{3}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{5\pi }}{6}\).

Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < - \dfrac{{5\pi }}{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{7}{6}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 1 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\).

Vậy các nghiệm của phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) là \(x \in \left\{ { \pm \dfrac{\pi }{6};\dfrac{{5\pi }}{6};\dfrac{{7\pi }}{6}} \right\}\).

* Xét phương trình \(2\sin x + 1 = 0 \Leftrightarrow \sin x = - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \\x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \end{array} \right.\).

Xét họ nghiệm \(x = - \dfrac{\pi }{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\). Cho \(x \in \left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) ta có:

\( - \dfrac{\pi }{2} < \dfrac{{7\pi }}{6} + k2\pi < \dfrac{{3\pi }}{2} \Leftrightarrow - \dfrac{5}{6} < k < \dfrac{1}{6}\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{{7\pi }}{6}\).

Vậy các nghiệm của phương trình \(2\sin x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) là \(x \in \left\{ { - \dfrac{\pi }{6};\dfrac{{7\pi }}{6}} \right\}\).

Do đó số nghiệm chung của hai phương trình \(4{\cos ^2}x - 3 = 0\) và \(2\sin x + 1 = 0\) trên khoảng \(\left( { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right)\) là 2.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.