Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2\sin x + m\cos x = 1 - m\) có nghiệm \(x\) thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
Câu 353262: Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(2\sin x + m\cos x = 1 - m\) có nghiệm \(x\) thuộc đoạn \(\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]\).
A. \(m \ge - \dfrac{3}{2}\)
B. \(m > - \dfrac{3}{2}\)
C. \( - 1 \le m \le 3\)
D. \( - 1 < m < 3\)
Đặt \(t=\tan \dfrac{x}{2}\) suy ra \(\left\{ \begin{align}\sin x=\dfrac{2t}{1+{{t}^{2}}} \cos x=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \end{align} \right..\)
-
Đáp án : C(68) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Do \(x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \left\{ \begin{align}\sin x\in \left[ -1;1 \right] \cos x\in \left[ 0;1 \right] \end{align} \right.\); do đó ta không được dùng điều kiện có nghiệm \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}\).
Đặt \(t=\tan \dfrac{x}{2}\). Với \(x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \dfrac{x}{2}\in \left[ -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4} \right]\Rightarrow \tan \dfrac{x}{2}\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]\).
Ta có \(\left\{ \begin{align} \sin x=\dfrac{2t}{1+{{t}^{2}}} \\ \cos x=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \end{align} \right.;\) khi đó phương trình trở thành
\(\begin{align}2.\dfrac{2t}{1+{{t}^{2}}}+m\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}=1-m\Leftrightarrow 4t+m-m{{t}^{2}}=\left( 1-m \right)\left( 1+{{t}^{2}} \right) \\ \Leftrightarrow 4t+m-m{{t}^{2}}=1+{{t}^{2}}-m-m{{t}^{2}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=2m\,\,\left( * \right) \\ \end{align}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{t}^{2}}-4t+1\) trên đoạn \(\left[ -1;1 \right]\) ta có BBT:
Từ BBT ta thấy với \(t\in \left[ -1;1 \right]\) thì \(f\left( t \right)\in \left[ -2;6 \right]\); do đó (*) có nghiệm \(\Leftrightarrow 2m\in \left[ -2;6 \right]\).
\(\Rightarrow -2\le 2m\le 6\Leftrightarrow -1\le m\le 3\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
