Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2\sin x + m\cos x = 1 - m$ có nghiệm

Câu hỏi số 353262:

Vận dụng cao

Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $2\sin x + m\cos x = 1 - m$ có nghiệm $x$ thuộc đoạn $\left[ { - \dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2}} \right]$ .

m \geq - \frac{3}{2}

$m \ge - \dfrac{3}{2}$

m > - \frac{3}{2}

$m > - \dfrac{3}{2}$

- 1 \leq m \leq 3

$- 1 \le m \le 3$

- 1 < m < 3

$- 1 < m < 3$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353262

Phương pháp giải

Đặt $t=\tan \dfrac{x}{2}$ suy ra $\left\{ \begin{align}\sin x=\dfrac{2t}{1+{{t}^{2}}} \cos x=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \end{align} \right..$

Giải chi tiết

Do $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \left\{ \begin{align}\sin x\in \left[ -1;1 \right] \cos x\in \left[ 0;1 \right] \end{align} \right.$ ; do đó ta không được dùng điều kiện có nghiệm ${{a}^{2}}+{{b}^{2}}\ge {{c}^{2}}$ .

Đặt $t=\tan \dfrac{x}{2}$ . Với $x\in \left[ -\dfrac{\pi }{2};\dfrac{\pi }{2} \right]\Rightarrow \dfrac{x}{2}\in \left[ -\dfrac{\pi }{4};\dfrac{\pi }{4} \right]\Rightarrow \tan \dfrac{x}{2}\in \left[ -1;1 \right]\Rightarrow t\in \left[ -1;1 \right]$ .

Ta có $\left\{ \begin{align} \sin x=\dfrac{2t}{1+{{t}^{2}}} \\ \cos x=\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}} \end{align} \right.;$ khi đó phương trình trở thành

$\begin{align}2.\dfrac{2t}{1+{{t}^{2}}}+m\dfrac{1-{{t}^{2}}}{1+{{t}^{2}}}=1-m\Leftrightarrow 4t+m-m{{t}^{2}}=\left( 1-m \right)\left( 1+{{t}^{2}} \right) \\ \Leftrightarrow 4t+m-m{{t}^{2}}=1+{{t}^{2}}-m-m{{t}^{2}}\Leftrightarrow {{t}^{2}}-4t+1=2m\,\,\left( * \right) \\ \end{align}$

Xét hàm số $f\left( t \right)={{t}^{2}}-4t+1$ trên đoạn $\left[ -1;1 \right]$ ta có BBT:

Từ BBT ta thấy với $t\in \left[ -1;1 \right]$ thì $f\left( t \right)\in \left[ -2;6 \right]$ ; do đó (*) có nghiệm $\Leftrightarrow 2m\in \left[ -2;6 \right]$ .

$\Rightarrow -2\le 2m\le 6\Leftrightarrow -1\le m\le 3$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.