Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right)\cos x + \left( {m - 1} \right)\sin x = 2m + 3\). Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{2\pi }}{3}\).

Câu 353263: Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right)\cos x + \left( {m - 1} \right)\sin x = 2m + 3\). Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{2\pi }}{3}\).

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. Vô số

Câu hỏi : 353263

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

- Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

- Tìm hai họ nghiệm \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\), thay vào giả thiết.

- Sử dụng phương pháp cosin 2 vế.

Đáp án : C
(18) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Điều kiện có nghiệm:

\(\eqalign{
& {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} \ge {\left( {2m + 3} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 2m + 1 \ge 4{m^2} + 12m + 9 \cr
& \Leftrightarrow 2{m^2} + 12m + 7 \le 0 \Leftrightarrow {{ - 6 - \sqrt {22} } \over 2} \le m \le {{ - 6 + \sqrt {22} } \over 2} \cr} \)

Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}+2}\,\,\left( 2{{m}^{2}}+2>0\,\,\forall m \right)\) ta có:

\(\eqalign{
& {{m + 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\cos x + {{m - 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\sin x = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }} \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos \alpha + \sin x\sin \alpha = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }} \cr
& \Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\,\,\left( {\cos \alpha = {{m + 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }};\,\,\sin \alpha = {{m - 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}} \right) \cr} \)

Đặt \(\dfrac{2m+3}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2}}=\cos \beta \), phương trình trở thành

\(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - \alpha = \beta + k2\pi \hfill \cr
x - \alpha = - \beta + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \alpha + \beta + k2\pi \hfill \cr
x = \alpha - \beta + m2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k;m \in Z } \right)\)

Theo bài ra ta có:

\(\eqalign{
& \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {{2\pi } \over 3} \Leftrightarrow \left| {\alpha + \beta + k2\pi - \alpha + \beta - m2\pi } \right| = {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \left| {2\beta + \left( {k - m} \right)2\pi } \right| = {{2\pi } \over 3} \Leftrightarrow \cos \left| {2\beta + \left( {k - m} \right)2\pi } \right| = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \cos \left( {2\beta } \right) = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\beta - 1 = - {1 \over 2} \Leftrightarrow {\cos ^2}\beta = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow {{{{\left( {2m + 3} \right)}^2}} \over {2{m^2} + 2}} = {1 \over 4} \Leftrightarrow 4{\left( {2m + 3} \right)^2} = 2{m^2} + 2 \cr
& \Leftrightarrow 16{m^2} + 48m + 36 = 2{m^2} + 2 \Leftrightarrow 14{m^2} + 48m + 34 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = - 1 \hfill \cr
m = - {{17} \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.