Cho phương trình $\left( {m + 1} \right)\cos x + \left( {m - 1} \right)\sin x = 2m + 3$ . Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 353263:

Vận dụng cao

Cho phương trình $\left( {m + 1} \right)\cos x + \left( {m - 1} \right)\sin x = 2m + 3$ . Có bao nhiêu giá trị của tham số $m$ để phương trình có hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ thỏa mãn $\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{2\pi }}{3}$ .

0

$0$

1

$1$

2

$2$

D. Vô số

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353263

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

- Chia cả 2 vế cho $\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}$ .

- Tìm hai họ nghiệm ${{x}_{1}};{{x}_{2}}$ , thay vào giả thiết.

- Sử dụng phương pháp cosin 2 vế.

Giải chi tiết

Điều kiện có nghiệm:

$\eqalign{ & {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} \ge {\left( {2m + 3} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 2m + 1 \ge 4{m^2} + 12m + 9 \cr & \Leftrightarrow 2{m^2} + 12m + 7 \le 0 \Leftrightarrow {{ - 6 - \sqrt {22} } \over 2} \le m \le {{ - 6 + \sqrt {22} } \over 2} \cr}$

Chia cả 2 vế cho $\sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}+2}\,\,\left( 2{{m}^{2}}+2>0\,\,\forall m \right)$ ta có:

$\eqalign{ & {{m + 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\cos x + {{m - 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\sin x = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }} \cr & \Leftrightarrow \cos x\cos \alpha + \sin x\sin \alpha = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\,\,\left( {\cos \alpha = {{m + 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }};\,\,\sin \alpha = {{m - 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}} \right) \cr}$

Đặt $\dfrac{2m+3}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2}}=\cos \beta$ , phương trình trở thành

$\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x - \alpha = \beta + k2\pi \hfill \cr x - \alpha = - \beta + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \alpha + \beta + k2\pi \hfill \cr x = \alpha - \beta + m2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k;m \in Z } \right)$

Theo bài ra ta có:

$\eqalign{ & \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {{2\pi } \over 3} \Leftrightarrow \left| {\alpha + \beta + k2\pi - \alpha + \beta - m2\pi } \right| = {{2\pi } \over 3} \cr & \Leftrightarrow \left| {2\beta + \left( {k - m} \right)2\pi } \right| = {{2\pi } \over 3} \Leftrightarrow \cos \left| {2\beta + \left( {k - m} \right)2\pi } \right| = \cos {{2\pi } \over 3} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {2\beta } \right) = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\beta - 1 = - {1 \over 2} \Leftrightarrow {\cos ^2}\beta = {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {2m + 3} \right)}^2}} \over {2{m^2} + 2}} = {1 \over 4} \Leftrightarrow 4{\left( {2m + 3} \right)^2} = 2{m^2} + 2 \cr & \Leftrightarrow 16{m^2} + 48m + 36 = 2{m^2} + 2 \Leftrightarrow 14{m^2} + 48m + 34 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ m = - 1 \hfill \cr m = - {{17} \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\left( {tm} \right) \cr}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.