Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right)\cos x + \left( {m - 1} \right)\sin x = 2m + 3\). Có bao nhiêu giá trị

Câu hỏi số 353263:

Vận dụng cao

Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right)\cos x + \left( {m - 1} \right)\sin x = 2m + 3\). Có bao nhiêu giá trị của tham số \(m\) để phương trình có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = \dfrac{{2\pi }}{3}\).

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. Vô số

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353263

Phương pháp giải

- Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm.

- Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

- Tìm hai họ nghiệm \({{x}_{1}};{{x}_{2}}\), thay vào giả thiết.

- Sử dụng phương pháp cosin 2 vế.

Giải chi tiết

Điều kiện có nghiệm:

\(\eqalign{
& {\left( {m + 1} \right)^2} + {\left( {m - 1} \right)^2} \ge {\left( {2m + 3} \right)^2} \cr
& \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 + {m^2} - 2m + 1 \ge 4{m^2} + 12m + 9 \cr
& \Leftrightarrow 2{m^2} + 12m + 7 \le 0 \Leftrightarrow {{ - 6 - \sqrt {22} } \over 2} \le m \le {{ - 6 + \sqrt {22} } \over 2} \cr} \)

Chia cả 2 vế cho \(\sqrt{{{\left( m+1 \right)}^{2}}+{{\left( m-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{2{{m}^{2}}+2}\,\,\left( 2{{m}^{2}}+2>0\,\,\forall m \right)\) ta có:

\(\eqalign{
& {{m + 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\cos x + {{m - 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\sin x = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }} \cr
& \Leftrightarrow \cos x\cos \alpha + \sin x\sin \alpha = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }} \cr
& \Leftrightarrow \cos \left( {x - \alpha } \right) = {{2m + 3} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}\,\,\left( {\cos \alpha = {{m + 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }};\,\,\sin \alpha = {{m - 1} \over {\sqrt {2{m^2} + 2} }}} \right) \cr} \)

Đặt \(\dfrac{2m+3}{\sqrt{2{{m}^{2}}+2}}=\cos \beta \), phương trình trở thành

\(\cos \left( {x - \alpha } \right) = \cos \beta \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - \alpha = \beta + k2\pi \hfill \cr
x - \alpha = - \beta + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = \alpha + \beta + k2\pi \hfill \cr
x = \alpha - \beta + m2\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k;m \in Z } \right)\)

Theo bài ra ta có:

\(\eqalign{
& \left| {{x_1} - {x_2}} \right| = {{2\pi } \over 3} \Leftrightarrow \left| {\alpha + \beta + k2\pi - \alpha + \beta - m2\pi } \right| = {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \left| {2\beta + \left( {k - m} \right)2\pi } \right| = {{2\pi } \over 3} \Leftrightarrow \cos \left| {2\beta + \left( {k - m} \right)2\pi } \right| = \cos {{2\pi } \over 3} \cr
& \Leftrightarrow \cos \left( {2\beta } \right) = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}\beta - 1 = - {1 \over 2} \Leftrightarrow {\cos ^2}\beta = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow {{{{\left( {2m + 3} \right)}^2}} \over {2{m^2} + 2}} = {1 \over 4} \Leftrightarrow 4{\left( {2m + 3} \right)^2} = 2{m^2} + 2 \cr
& \Leftrightarrow 16{m^2} + 48m + 36 = 2{m^2} + 2 \Leftrightarrow 14{m^2} + 48m + 34 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = - 1 \hfill \cr
m = - {{17} \over 7} \hfill \cr} \right.\,\,\left( {tm} \right) \cr} \)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.