Phương trình ${\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{4}$ có bao nhiêu nghiệm

Câu hỏi số 353261:

Vận dụng

Phương trình ${\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{4}$ có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng $\left( {0;2017\pi } \right)$ ?

$4032$

$4033$

$4034$

$4035$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353261

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức $\cos \left( a+b \right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ ; ${{\sin }^{2}}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$ .

- Biến đổi, đưa 1 vế về dạng $a\sin x+b\cos x=c$ .

- Phương trình dạng $a\sin x+b\cos x=c$ . Chia cả 2 vế của phương trình cho $\sqrt {{a^2} + {b^2}}$ .

Giải chi tiết

$\eqalign{ & {\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\left[ {{1 \over {\sqrt 2 }}\cos x - {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x} \right]^4} = {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {1 \over 4}{\left( {\cos x - \sin x} \right)^4} = {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {\left( {{{1 - \cos 2x} \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}{\left( {{{\cos }^2}x - 2\sin x\cos x + {{\sin }^2}x} \right)^2} = {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {\left( {1 - \cos 2x} \right)^2} + {\left( {1 - \sin 2x} \right)^2} = 1 \cr & \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x + {\cos ^2}2x + 1 - 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = 1 \cr & \Leftrightarrow 3 - 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) = 1 \cr & \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x + {\pi \over 4} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr 2x + {\pi \over 4} = {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr}$

Xét họ nghiệm $x=k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ . Cho $x\in \left( 0;2017\pi \right)$ ta có:

$0<k\pi <2017\pi \Leftrightarrow 0<k<2017\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow k\in \left\{ 1;2;...;2016 \right\}$ .

Xét họ nghiệm $x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)$ . Cho $x\in \left( 0;2017\pi \right)$ ta có:

$0<\dfrac{\pi }{4}+k\pi <2017\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}<k<\dfrac{8067}{4}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow k\in \left\{ 0;1;2;...;2016 \right\}$ .

Rõ ràng hai họ nghiệm này có các điểm biểu diễn không trùng nhau, do đó phương trình đã cho có $2016+2017=4033$ nghiệm thuộc $\left( 0;2017\pi \right)$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.