Phương trình \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{4}\) có bao nhiêu nghiệm

Câu hỏi số 353261:

Vận dụng

Phương trình \({\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{1}{4}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng \(\left( {0;2017\pi } \right)\) ?

A. \(4032\)

B. \(4033\)

C. \(4034\)

D. \(4035\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353261

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(\cos \left( a+b \right)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\) ; \({{\sin }^{2}}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}\).

- Biến đổi, đưa 1 vế về dạng \(a\sin x+b\cos x=c\).

- Phương trình dạng \(a\sin x+b\cos x=c\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Giải chi tiết

\(\eqalign{
& {\sin ^4}x + {\cos ^4}\left( {x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {\left[ {{1 \over {\sqrt 2 }}\cos x - {1 \over {\sqrt 2 }}\sin x} \right]^4} = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow {\sin ^4}x + {1 \over 4}{\left( {\cos x - \sin x} \right)^4} = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {{{1 - \cos 2x} \over 2}} \right)^2} + {1 \over 4}{\left( {{{\cos }^2}x - 2\sin x\cos x + {{\sin }^2}x} \right)^2} = {1 \over 4} \cr
& \Leftrightarrow {\left( {1 - \cos 2x} \right)^2} + {\left( {1 - \sin 2x} \right)^2} = 1 \cr
& \Leftrightarrow 1 - 2\cos 2x + {\cos ^2}2x + 1 - 2\sin 2x + {\sin ^2}2x = 1 \cr
& \Leftrightarrow 3 - 2\left( {\sin 2x + \cos 2x} \right) = 1 \cr
& \Leftrightarrow \sin 2x + \cos 2x = 1 \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = {1 \over {\sqrt 2 }} \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + {\pi \over 4} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr
2x + {\pi \over 4} = {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = k\pi \hfill \cr
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Xét họ nghiệm \(x=k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\). Cho \(x\in \left( 0;2017\pi \right)\) ta có:

\(0<k\pi <2017\pi \Leftrightarrow 0<k<2017\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow k\in \left\{ 1;2;...;2016 \right\}\).

Xét họ nghiệm \(x=\dfrac{\pi }{4}+k\pi \,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\). Cho \(x\in \left( 0;2017\pi \right)\) ta có:

\(0<\dfrac{\pi }{4}+k\pi <2017\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4}<k<\dfrac{8067}{4}\,\,\left( k\in \mathbb{Z} \right)\Rightarrow k\in \left\{ 0;1;2;...;2016 \right\}\).

Rõ ràng hai họ nghiệm này có các điểm biểu diễn không trùng nhau, do đó phương trình đã cho có \(2016+2017=4033\) nghiệm thuộc \(\left( 0;2017\pi \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.