1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH,\) biết \(AB = 5cm,\,\,\,BH = 3cm.\) Tính

Câu hỏi số 353764:

Vận dụng

1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH,\) biết \(AB = 5cm,\,\,\,BH = 3cm.\) Tính \(AH,\,\,AC\) và \(\sin \angle CAH.\)

2. Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) và lấy trên tiếp tuyến đó điểm \(P\) sao cho\(AP > R,\) từ \(P\) kẻ tiếp tuyến thức hai tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O;\,R} \right)\) tại \(M.\)

a) Chứng minh tứ giác \(APMO\) nội tiếp được một đường tròn.

b) Chứng minh \(BM//OP.\)

c) Biết đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) cắt \(BM\) tại\(N,\,\,AN\) cắt \(OP\) tại \(K,\,\,PM\) cắt \(ON\) tại\(I,\,\,PN\) cắt \(OM\) tại \(J.\) Chứng minh \(K,\,\,I,\,\,J\) thẳng hàng.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:353764

Giải chi tiết

1. Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH,\) biết \(AB = 5cm,\,\,\,BH = 3cm.\) Tính \(AH,\,\,AC\) và \(\sin \angle CAH.\)

Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta ABH\) vuông tại\(H\) ta có:

\(\begin{array}{l}A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {5^2} - {3^2} = 25 - 9 = 16\\ \Rightarrow AH = \sqrt {16} = 4\,\,\,cm.\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\) ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{A{H^2}}} - \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{4^2}}} - \frac{1}{{{5^2}}} = \frac{9}{{400}}\\ \Rightarrow A{C^2} = \frac{{400}}{9} \Rightarrow AC = \frac{{20}}{3}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Áp dụng định lý Pytago trong \(\Delta ABH\) vuông tại\(H\) ta có:

\(\begin{array}{l}H{C^2} = A{C^2} - A{H^2} = \frac{{400}}{9} - 16 = \frac{{256}}{9}\\ \Rightarrow HC = \sqrt {\frac{{256}}{9}} = \frac{{16}}{3}\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\) ta có: \(\sin \angle CAH = \frac{{CH}}{{AC}} = \frac{{16}}{3}:\frac{{20}}{3} = \frac{{16}}{3}.\frac{3}{{20}} = \frac{4}{5}.\)

Vậy \(AH = 4cm,\,\,\,AC = \frac{{20}}{3}\,\,cm,\,\,\sin \angle CAH = \frac{4}{5}.\)

2) Cho đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) đường kính \(AB.\) Kẻ tiếp tuyến \(Ax\) với đường tròn \(\left( {O;\,\,R} \right)\) và lấy trên tiếp tuyến đó điểm \(P\) sao cho\(AP > R,\) từ \(P\) kẻ tiếp tuyến thức hai tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O;\,R} \right)\) tại \(M.\)

a) Chứng minh tứ giác \(APMO\) nội tiếp được một đường tròn.

Ta có \(PM\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(M \Rightarrow OM \bot PM \Rightarrow \angle OMP = {90^0}\)

\(PA\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(A \Rightarrow PA \bot OA \Rightarrow \angle OAP = {90^0}\)

Xét tứ giác \(APMO\) ta có: \(\angle OMP + \angle OAP = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) . Mà hai góc này là hai góc đối diện.

\( \Rightarrow APMO\) là tứ giác nội tiếp (dhnb).

b) Chứng minh \(BM//OP.\)

Gọi \(E\) là giao điểm của \(OP\) với \(\left( O \right).\)

Ta có: \(PA,\,\,PM\) là hai tiếp tuyến cắt nhau tại \(P\)

\( \Rightarrow OP\) là phân giác của \(\angle AOM \Rightarrow \angle AOP = \angle POM\,\,\,hay\,\,\,\angle AOE = \angle EOM\)

Mà \(\angle AOE,\,\,\,\angle EOM\) lần lượt là các góc ở tâm chắn cung \(AE,\,\,\,EM.\)

\( \Rightarrow sd\,\,cung\,\,\,AE = sd\,\,cung\,\,\,EM\) (hai góc ở tâm bằng nhau chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \angle AOE = sd\,\,\,cung\,\,AE \Rightarrow sd\,\,\,cung\,\,\,AM = 2\,\,sd\,\,cung\,\,\,AE.\)

Lại có \(\angle ABM\) là góc nội tiếp chắn cung \(AM\) \( \Rightarrow \angle ABM = \frac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AM = sd\,\,cung\,\,AE.\)

\( \Rightarrow \angle AOE = \angle ABM\left( { = sd\,\,\,cung\,\,AE} \right).\) Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.

\( \Rightarrow OE//BM\,\,\,hay\,\,\,OP//BM\,\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

c) Biết đường thẳng vuông góc với \(AB\) tại \(O\) cắt \(BM\) tại\(N,\,\,AN\) cắt \(OP\) tại \(K,\,\,PM\) cắt \(ON\) tại\(I,\,\,PN\) cắt \(OM\) tại \(J.\) Chứng minh \(K,\,\,I,\,\,J\) thẳng hàng.

Xét tam giác \(OAP\) và tam giác \(BON\) có :

\(\begin{array}{l}\angle OAP = \angle BON = {90^0};\\OA = BO\,\,\left( { = R} \right)\end{array}\)

\(\angle POA = \angle NBO\) (đồng vị);

\( \Rightarrow \Delta OAP = \Delta BON\,\,\left( {g.c.g} \right) \Rightarrow \) \(AP = ON\) (hai cạnh tướng ứng) và \(\angle OPA = \angle BNO\) (1) (hai góc tương ứng).

Ta có \(NO\) là trung trực của \(AB \Rightarrow NA = NB \Rightarrow \Delta NAB\) cân tại \(N\).

\( \Rightarrow \) Đường cao \(NO\) đồng thời là phân giác \( \Rightarrow \angle ONA = \angle ONB\) (2).

Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có: \(\angle OPA = \angle MPO\) (3).

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle MPO = \angle ONA\) hay \(\angle IPK = \angle INK \Rightarrow \) Tứ giác \(NPKI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle OIK = \angle KPN\) (*) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Xét tứ giác \(OAPN\) có \(\left\{ \begin{array}{l}AP = ON\,\,\left( {cmt} \right)\\AP//ON\,\,\left( { \bot AB} \right)\end{array} \right. \Rightarrow OAPN\) là hình bình hành (Tứ giác có 2 cạnh đối song song và bằng nhau). Lại có \(\angle OAP = {90^0} \Rightarrow OAPN\) là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông)

\( \Rightarrow \angle ONP = {90^0} \Rightarrow \angle ONJ = {90^0}\).

Xét tứ giác \(MINJ\) có \(\angle INJ + \angle IMJ = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(MINJ\)là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰).

\( \Rightarrow \angle JIN = \angle JMN\) (**) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(NJ\)).

Mặt khác: Tứ giác \(ONMP\) có \(\angle OMP = \angle ONP = {90^0} \Rightarrow \) Tứ giác \(ONMP\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau).

\( \Rightarrow \angle JMN = \angle KPN\) (***) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).

Từ (*), (**), (***) \( \Rightarrow \angle OIK = \angle JIN\). Mà hai góc này ở vị trí đối đỉnh.

Vậy \(K,\,\,I,\,\,J\) thẳng hàng.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link