Tìm \(m\) để hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2}

Câu hỏi số 355447:

Vận dụng cao

Tìm \(m\) để hàm số: \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\) là hàm số chẵn.

A. \(m = 0\)

B. \(m = 1\)

C. \(m = \pm 2\)

D. \(m = \pm 1\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:355447

Phương pháp giải

\(\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và có đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung \(Oy.\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne m\,\,\,\left( * \right)\) (*)

Hàm số đã cho là hàm số chẵn \( \Leftrightarrow f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}} = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - m}}\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) - \left( {2{m^2} - 2} \right)x = {x^2}\left( {{x^2} - 2} \right) + \left( {2{m^2} - 2} \right)x\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện (*)

\( \Leftrightarrow 2\left( {2{m^2} - 2} \right)x = 0\) với mọi \(x\) thỏa mãn điều kiện (*)

\( \Leftrightarrow 2{m^2} - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 1\end{array} \right.\)

* Với \(m = 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\)

ĐKXĐ : \(\sqrt {{x^2} + 1} \ne 1 \Leftrightarrow x \ne 0\)

Suy ra TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

Dễ thấy với mọi \(x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} - 1}}\) là hàm số chẵn.

* Với \(m = - 1\) ta có hàm số là \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\)

TXĐ: \({\rm{D}} = \mathbb{R}\)

Dễ thấy với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{{x^2}\left( {{x^2} - 2} \right)}}{{\sqrt {{x^2} + 1} + 1}}\) là hàm số chẵn.

Vậy \(m = \pm 1\) là giá trị cần tìm.

Chọn D.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.