Tìm số nghiệm của phương trình sau \(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} = \sqrt {4{x^2} + 9} + x\)

Câu hỏi số 355446:

Vận dụng cao

A. 1 nghiệm duy nhất

B. 2 nghiệm

C. 3 nghiệm

D. Vô nghiệm

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:355446

Phương pháp giải

- Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì pt \(f\left( x \right) = 0\)có tối đa 1 nghiệm trên \(\left( {a;b} \right)\) (Nhẩm nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất).
- Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\), có \(u,v \in \left( {a;b} \right);f\left( u \right) = f\left( v \right)\) thì \(u = v.\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(x \ge 1\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} = \sqrt {4{x^2} + 9} + x\\ \Leftrightarrow \sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} = \sqrt {4\left( {{x^2} + 1} \right) + 5} + \sqrt {{x^2} + 1 - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,x > 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2}} = x} \right)\end{array}\)

Đặt \({x^2} + 1 = t,\,\,\,t \ge 1 \Rightarrow {x^2} = t - 1\) phương trình trở thành:

\(\sqrt {4x + 5} + \sqrt {x - 1} = \sqrt {4t + 5} + \sqrt {t - 1} \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( t \right)\,\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số đặc trưng \(f\left( u \right) = \sqrt {4u - 5} + \sqrt {u - 1} \) ta có:

Với \(1 \le {u_1} < {u_2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {{u_2}} \right) - f\left( {{u_1}} \right) = \sqrt {4{u_2} - 5} + \sqrt {{u_2} - 1} - \sqrt {4{u_1} - 5} - \sqrt {{u_1} - 1} \\ = \left( {\sqrt {4{u_2} - 5} - \sqrt {4{u_1} - 5} } \right) + \left( {\sqrt {{u_2} - 1} - \sqrt {{u_1} - 1} } \right) > 0\,\,\,\,do\,\,{u_2} > {u_1}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( u \right)\) là hàm đồng biến \( \Rightarrow y = f\left( x \right),\,\,y = f\left( t \right)\) cũng là các hàm số đồng biến trên tập xác định của các hàm số.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x = t \Leftrightarrow x = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\,\,\,\left( {vo\,\,\,nghiem} \right).\end{array}\)

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.