Chứng minh rằng \(S = {2^1} + {3^5} + {4^9} + ..... + {2003^{8005}}\) chia hết cho \(5.\)

Câu hỏi số 356234:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356234

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc \(4n + 1\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 = 4.0 + 1\\5 = 4.1 + 1\\9 = 4.2 + 1\\......\\8005 = 4.2001 + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = {2^{4{k_1} + 1}} + {3^{4{k_2} + 1}} + {4^{4{k_3} + 1}} + .... + {2003^{4{k_{2002}} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ....2 + ...3 + ....4 + ........... + ...3.\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44\\1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\end{array} \right..\)

Số các số hạng của tổng \(S\) là \(2003 - 2 + 1 = 2002\) số hạng.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \left( {...2 + ...3 + ...4 + ...5 + ...6 + ...7 + ...8 + ...9} \right)\\ + 199.\left( {...0 + ...1 + ...2 + ...3 + ...4 + ...5 + ...6 + ...7 + ...8 + ...9} \right)\\ + \left( {...0 + ...1 + ...2 + ...3} \right)\\ = \left( {...4} \right) + 199.\left( {...5} \right) + \left( {...6} \right)\\ = ...4 + ...5 + ...6 = ...5.\end{array}\)

\( \Rightarrow S\) có chữ số tận cùng là \(5 \Rightarrow S\,\, \vdots \,\,5.\)

Vậy \(S\) chia hết cho \(5.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link