Chứng minh rằng \(S = {2^1} + {3^5} + {4^9} + ..... + {2003^{8005}}\) chia hết cho \(5.\)

Câu hỏi số 356234:

Vận dụng cao

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356234

Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất: Một số tự nhiên bất kì, nâng lên lũy thừa bậc \(4n + 1\,\,\left( {n \in \mathbb{N}} \right)\) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}1 = 4.0 + 1\\5 = 4.1 + 1\\9 = 4.2 + 1\\......\\8005 = 4.2001 + 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = {2^{4{k_1} + 1}} + {3^{4{k_2} + 1}} + {4^{4{k_3} + 1}} + .... + {2003^{4{k_{2002}} + 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = ....2 + ...3 + ....4 + ........... + ...3.\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 44\\1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45\end{array} \right..\)

Số các số hạng của tổng \(S\) là \(2003 - 2 + 1 = 2002\) số hạng.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow S = \left( {...2 + ...3 + ...4 + ...5 + ...6 + ...7 + ...8 + ...9} \right)\\ + 199.\left( {...0 + ...1 + ...2 + ...3 + ...4 + ...5 + ...6 + ...7 + ...8 + ...9} \right)\\ + \left( {...0 + ...1 + ...2 + ...3} \right)\\ = \left( {...4} \right) + 199.\left( {...5} \right) + \left( {...6} \right)\\ = ...4 + ...5 + ...6 = ...5.\end{array}\)

\( \Rightarrow S\) có chữ số tận cùng là \(5 \Rightarrow S\,\, \vdots \,\,5.\)

Vậy \(S\) chia hết cho \(5.\)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link