Phương trình \(\dfrac{{\sin 3x}}{{\cos 2x}} + \dfrac{{\cos 3x}}{{\sin 2x}} = \dfrac{2}{{\sin 3x}}\) có nghiệm

Câu hỏi số 356364:

Thông hiểu

Phương trình \(\dfrac{{\sin 3x}}{{\cos 2x}} + \dfrac{{\cos 3x}}{{\sin 2x}} = \dfrac{2}{{\sin 3x}}\) có nghiệm là:

A. \(x = \dfrac{\pi }{8} + k\pi \)

B. \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\) (\(k \ne \dfrac{{3m + 2}}{4}\,\,\left( {k;m \in \mathbb{Z}} \right)\))

C. \(x = \dfrac{{k\pi }}{4}\)

D. \(x = \dfrac{\pi }{8} + \dfrac{{k\pi }}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356364

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Quy đồng, bỏ mẫu.

- Sử dụng các công thức \(\cos \left( {a - b} \right) = \cos a\cos b + \sin a\sin b,\,\,\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos 2x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\\\sin 3x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 4x \ne 0\\\sin 3x \ne 0\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\sin 3x}}{{\cos 2x}} + \dfrac{{\cos 3x}}{{\sin 2x}} = \dfrac{2}{{\sin 3x}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{\sin 3x\sin 2x + \cos 3x\cos 2x}}{{\cos 2x\sin 2x}} = \dfrac{2}{{\sin 3x}}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x - 2x} \right)\sin 3x = 2\sin 2x\cos 2x\\ \Leftrightarrow \cos x\sin 3x = \sin 4x\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 4x + \sin 2x} \right) = \sin 4x\\ \Leftrightarrow \sin 4x + \sin 2x = 2\sin 4x\\ \Leftrightarrow \sin 2x = \sin 4x\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 2x + k2\pi \\4x = \pi - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \,\,\left( {ktm} \right)\\x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right.\end{array}\).

Đối chiếu điều kiện:

\(\begin{array}{l} + )\,\,\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3} \ne \dfrac{{m\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} + \dfrac{k}{3} \ne \dfrac{m}{4}\\ \Leftrightarrow 2 + 4k \ne 3m\\ \Leftrightarrow k \ne \dfrac{{3m + 2}}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} + )\,\,\dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3} \ne \dfrac{{n\pi }}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} + \dfrac{k}{3} \ne \dfrac{n}{3}\\ \Leftrightarrow 1 + 2k \ne 2n\\ \Leftrightarrow k \ne \dfrac{{2n - 1}}{2}\end{array}\)

(luôn đúng do \(2n - 1\) là số lẻ).

Vậy nghiệm của phương trình là \(x = \dfrac{\pi }{6} + \dfrac{{k\pi }}{3}\) với \(k \ne \dfrac{{3m + 2}}{4}\,\,\left( {k;m \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.