Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 5x\cos 7x = \cos 4x\sin 8x\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) bằng:

Câu 356371: Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 5x\cos 7x = \cos 4x\sin 8x\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{19\pi }}{3}\)

B. \(\dfrac{{9\pi }}{2}\)

C. \(5\pi \)

D. \(7\pi \)

Câu hỏi : 356371

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Đáp án : D
(7) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\sin 5x\cos 7x = \cos 4x\sin 8x \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 12x - \sin 2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 12x + \sin 4x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 12x - \sin 2x = \sin 12x + \sin 4x \Leftrightarrow \sin 4x = - \sin 2x = \sin \left( { - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = - 2x + k2\pi \\4x = \pi + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{3}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) ta có: \(0 < \dfrac{{k\pi }}{3} < 2\pi \Leftrightarrow 0 < k < 6\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{2\pi }}{3};\pi ;\dfrac{{4\pi }}{3};\dfrac{{5\pi }}{3}} \right\}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) ta có: \(0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{2} + k < 2 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{3}{2}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 5x\cos 7x = \cos 4x\sin 8x\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) bằng :

\(\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{2\pi }}{3} + \pi + \dfrac{{4\pi }}{3} + \dfrac{{5\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{3\pi }}{2} = 7\pi \)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.