Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 5x\cos 7x = \cos 4x\sin 8x\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\)

Câu hỏi số 356371:

Thông hiểu

Tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 5x\cos 7x = \cos 4x\sin 8x\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) bằng:

A. \(\dfrac{{19\pi }}{3}\)

B. \(\dfrac{{9\pi }}{2}\)

C. \(5\pi \)

D. \(7\pi \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:356371

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(\sin a\cos b = \dfrac{1}{2}\left[ {\sin \left( {a + b} \right) + \sin \left( {a - b} \right)} \right]\).

- Giải phương trình lượng giác cơ bản.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\sin 5x\cos 7x = \cos 4x\sin 8x \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\left( {\sin 12x - \sin 2x} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {\sin 12x + \sin 4x} \right)\\ \Leftrightarrow \sin 12x - \sin 2x = \sin 12x + \sin 4x \Leftrightarrow \sin 4x = - \sin 2x = \sin \left( { - 2x} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = - 2x + k2\pi \\4x = \pi + 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k\pi }}{3}\\x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{{k\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) ta có: \(0 < \dfrac{{k\pi }}{3} < 2\pi \Leftrightarrow 0 < k < 6\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {1;2;3;4;5} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{3};\dfrac{{2\pi }}{3};\pi ;\dfrac{{4\pi }}{3};\dfrac{{5\pi }}{3}} \right\}\).

Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) ta có: \(0 < \dfrac{\pi }{2} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow 0 < \dfrac{1}{2} + k < 2 \Leftrightarrow - \dfrac{1}{2} < k < \dfrac{3}{2}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\} \Rightarrow x \in \left\{ {\dfrac{\pi }{2};\dfrac{{3\pi }}{2}} \right\}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\sin 5x\cos 7x = \cos 4x\sin 8x\) trên \(\left( {0;2\pi } \right)\) bằng :

\(\dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{2\pi }}{3} + \pi + \dfrac{{4\pi }}{3} + \dfrac{{5\pi }}{3} + \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{{3\pi }}{2} = 7\pi \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.