Từ phương trình \(1 + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \dfrac{3}{2}\sin 2x\), ta tìm được \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\) có giá trị bằng:

Câu 356481: Từ phương trình \(1 + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \dfrac{3}{2}\sin 2x\), ta tìm được \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\) có giá trị bằng:

A. \(1\)

B. \( - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

D. \( \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Câu hỏi : 356481

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Sử dụng hằng đẳng thức \({a^3} + {b^3} = \left( {a + b} \right)\left( {{a^2} - ab + {b^2}} \right)\).

- Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

- Rút gọn, giải phương trình bậc ba tìm \(t\).

- Thay ngược lại tìm \(x\) và tính \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right)\).

Đáp án : D
(4) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,1 + {\sin ^3}x + {\cos ^3}x = \dfrac{3}{2}\sin 2x\\ \Leftrightarrow 1 + \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {{{\sin }^2}x - \sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right) = 3\sin x\cos x\\ \Leftrightarrow 1 + \left( {\sin x + \cos x} \right)\left( {1 - \sin x\cos x} \right) = 3\sin x\cos x\end{array}\)

Đặt \(t = \sin x + \cos x\,\,\left( { - \sqrt 2 \le t \le \sqrt 2 } \right) \Rightarrow \sin x\cos x = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).

Khi đó phương trình trở thành:

\(\begin{array}{l}1 + t.\left( {1 - \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = 3\dfrac{{{t^2} - 1}}{2} \Leftrightarrow 2 + 2t - {t^3} + t = 3{t^2} - 3\\ \Leftrightarrow {t^3} + 3{t^2} - 3t - 5 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\t = - 1 \pm \sqrt 6 \,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Với \(t = - 1\) ta có

\(\begin{array}{l}\sin x + \cos x = - 1 \Leftrightarrow \sin \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + \dfrac{\pi }{4} = - \dfrac{\pi }{4} + k2\pi \\x + \dfrac{\pi }{4} = \dfrac{{5\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \\x = \pi + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

Với \(x = - \dfrac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{2} + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \right) = \cos \left( { - \dfrac{\pi }{4}} \right) = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Với \(x = \pi + k2\pi \Leftrightarrow \cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\pi + \dfrac{\pi }{4} + k2\pi } \right) = \cos \left( {\dfrac{{5\pi }}{4}} \right) = - \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\cos \left( {x + \dfrac{\pi }{4}} \right) = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

2K7 tham gia ngay group để nhận thông tin thi cử, tài liệu miễn phí, trao đổi học tập nhé!

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.