Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giác lồi. Gọi \(M,K\) lần lượt là trung điểm của

Câu hỏi số 358176:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là tứ giác lồi. Gọi \(M,K\) lần lượt là trung điểm của \(SA,BC.\) Điểm \(N\) thuộc cạnh \(SC\) sao cho \(SN = 2NC\).

a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và tìm giao điểm \(H\) của \(AB\) với mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\).

b) Xác định thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\). Tính tỉ số \(\dfrac{{HA}}{{HB}}?\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:358176

Phương pháp giải

+ Sử dụng cách tìm giao tuyến hai mặt phẳng, tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

+ Sử dụng định lý Ta-lét để tìm tỉ số

Giải chi tiết

a) * Trong \(\left( {SBC} \right)\), kéo dài \(NK\) cắt \(SB\) tại \(G\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}MG \subset \left( {MNK} \right)\\MG \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right.\) nên \(\left( {MNK} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MG\)

* Trong \(\left( {SAB} \right)\), gọi \(MG\) cắt \(AB\) tại \(H\)

Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}H \in MG \subset \left( {MNK} \right)\\H \in AB\end{array} \right.\) nên \(H\) là gao điểm của \(AB\) với \(\left( {MNK} \right)\)

b) *) Xác định thiết diện

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\) , trong \(\left( {SAC} \right)\) có \(SO \cap MK = \left\{ I \right\}\)

Trong \(\left( {ABCD} \right)\) có \(BD \cap HN = \left\{ E \right\}\)

Trong \(\left( {SBD} \right)\) có \(EI \cap SD = \left\{ P \right\}\)

Khi đó ta có \(\left( {MNK} \right) \equiv \left( {MPKNH} \right)\)

Hay \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {MNK} \right) \cap \left( {SBC} \right) = NK\\\left( {MNK} \right) \cap \left( {SAB} \right) = MH\\\left( {MNK} \right) \cap \left( {SAD} \right) = MP\\\left( {MNK} \right) \cap \left( {SDC} \right) = PK\\\left( {MNK} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = NH\end{array} \right.\)

Nên thiết diện của hình chóp \(S.ABCD\) cắt bởi mặt phẳng \(\left( {MNK} \right)\) là ngũ giác \(PMHNK\)

*) Tính tỉ số \(\dfrac{{HA}}{{HB}}\)

Trong \(\Delta SQK\) kẻ \(BF//SK\left( {F \in QK} \right)\)

Khi đó \(\dfrac{{NB}}{{NC}} = \dfrac{{KC}}{{BF}}\) (theo Ta-let) mà \(NB = NC \Rightarrow KC = BF\)

Mà \(\dfrac{{KC}}{{SK}} = \dfrac{1}{2}\) suy ra \(\dfrac{{BF}}{{SK}} = \dfrac{1}{2}\) mà \(BF//SK \Rightarrow BF\) là đường trung bình của .. \(\)

Do đó \(B\) là trung điểm của \(SG\)

Trong \(\Delta GMS\) kẻ \(BQ//SA\left( {Q \in GM} \right)\) mà \(B\) là trung điểm của \(SG\) nên \(QB\) là đường trung bình của \(\Delta GSM\)

Suy ra \(\dfrac{{QB}}{{SM}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{QB}}{{MA}} = \dfrac{1}{2}\left( {do\,SM = MA} \right)\)

Vì \(QB//AM\), theo định lý Ta-let ta có \(\dfrac{{QB}}{{MA}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{HA}}{{HB}} = 2\).

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.