Số nào trong các số sau là số chính phương: a) \(M = {1992^2} + {1993^2} + {1994^2}\) b) \(N = {1^3} +

Câu hỏi số 358183:

Vận dụng

Số nào trong các số sau là số chính phương:

a) \(M = {1992^2} + {1993^2} + {1994^2}\)

b) \(N = {1^3} + {2^3} + ... + {100^3}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:358183

Phương pháp giải

Chứng minh số đó chia cho 3, chia cho 4 dư 0 hoặc 1.

Giải chi tiết

a) Các số \({1993^2}\), \({1994^2}\) chia cho 3 dư 1, còn \({1992^2}\) chia hết cho 3. Vậy \(M\) chia cho 3 dư 2 nên \(M\) không là số chính phương.

b) Gọi \({A_k} = 1 + 2 + ... + k = \dfrac{{k\left( {k + 1} \right)}}{2};\,\,{A_{k - 1}} = 1 + 2 + ... + \left( {k - 1} \right) = \dfrac{{\left( {k - 1} \right)k}}{2}\).

Ta có: \(A_k^2 - A_{k - 1}^2 = \dfrac{{{k^2}{{\left( {k + 1} \right)}^2} - {k^2}{{\left( {k - 1} \right)}^2}}}{4} = \dfrac{{{k^2}\left( {k + 1 + k - 1} \right)\left( {k + 1 - k + 1} \right)}}{4} = {k^3}\) khi đó:

\(\begin{array}{l}{1^3} = A_1^2\\{2^3} = A_2^2 - A_1^2\\..................\\{n^3} = A_n^2 - A_{n - 1}^2\end{array}\)

Cộng theo vế các đẳng thức trên ta có:

\({1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = A_n^2 = {\left[ {\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right]^2} = {\left[ {\dfrac{{100\left( {100 + 1} \right)}}{2}} \right]^{^2}} = {\left( {50.101} \right)^2}\) là số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link