Chứng minh rằng số có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\) trong đó \(n \in \mathbb{Z}\) và \(n >

Câu hỏi số 358186:

Vận dụng

Chứng minh rằng số có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\) trong đó \(n \in \mathbb{Z}\) và \(n > 1\) không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:358186

Phương pháp giải

Sử dụng nguyên lí “kẹp”.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}{n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2} = {n^2}\left( {{n^4} - {n^2} + 2n + 2} \right) = {n^2}\left[ {{n^2}\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) + 2\left( {n + 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {n^2}\left( {n + 1} \right)\left( {{n^3} - {n^2} + 2} \right) = {n^2}\left( {n + 1} \right)\left[ {\left( {{n^3} + 1} \right) - \left( {{n^2} - 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {n^2}\left( {n + 1} \right)\left[ {\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - n + 1} \right) - \left( {n + 1} \right)\left( {n - 1} \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\left( {{n^2} - 2n + 2} \right)\end{array}\)

Mà \({n^2} - 2n + 2 = {\left( {n - 1} \right)^2} + 1 > {\left( {n - 1} \right)^2}\) và \({n^2} - 2n + 2 = {n^2} - 2\left( {n - 1} \right) < {n^2}\)

\( \Rightarrow {\left( {n - 1} \right)^2} < {n^2} - 2n + 2 < {n^2}\). Suy ra \({n^2} - 2n + 2\) không phải một số chính phương.

Vậy số có dạng \({n^6} - {n^4} + 2{n^3} + 2{n^2}\) không phải số chính phương.\(\)

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link