Tìm tất cả các giá trị thực \(m\) để hàm số \(y = \sin x + \cos x + mx\) đồng biến

Câu hỏi số 361314:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị thực \(m\) để hàm số \(y = \sin x + \cos x + mx\) đồng biến trên\(\mathbb{R}\)

A. \( - \sqrt 2 < m < \sqrt 2 \)

B. \(m \le - \sqrt 2 \)

C. \( - \sqrt 2 \le m \le \sqrt 2 \)

D. \(m \ge \sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361314

Giải chi tiết

\(y = \sin x + \cos x + mx \Rightarrow y' = \cos x - \sin x + m\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\,\, \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \cos x - \sin x + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \sin x - \cos x \Rightarrow m \ge \max \left( {\sin x - \cos x} \right)\)

+ B1: Chuyển máy về Độ bấm: Shift + Mode + 3

+ B2: Tăng TABLE lên 40 dòng bấm: Shift + Mode + \(\downarrow \) + 5 + 1:\(f\left( x \right)\)

+ B3: Dùng máy tính cầm tay, chức năng TABLE (Mode + 7)

Nhập \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = \sin x - \cos x\\Start:0\\End:360\\Step:15\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \) \( \Rightarrow Max = 1,4142 = \sqrt 2 \)

Mà theo đánh giá trên \(m \ge Max \Rightarrow m \ge \sqrt 2 \).

Cách 2:

\(y = \sin x + \cos x + mx\)

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Ta có: \(y' = \cos x - \sin x + m\)

Hàm số đã cho ĐB trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \cos x - \sin x + m \ge 0\\ \Leftrightarrow m \ge \sin x - \cos x\\ \Leftrightarrow m \ge \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Vì \( - 1 \le \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le 1\) \( \Rightarrow - \sqrt 2 \le \sqrt 2 \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) \le \sqrt 2 \)

\( \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow m \ge \sqrt 2 \)

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.