Tìm \(m\) để hàm số \(y = - {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + m - 1\) đồng biến trên một đoạn

Câu hỏi số 361313:

Vận dụng

Tìm \(m\) để hàm số \(y = - {x^3} + \left( {m + 1} \right){x^2} + m - 1\) đồng biến trên một đoạn có độ dài bằng 3.

A. \(m=-\dfrac{11}{2};\,\,m=-\dfrac{7}{2}\)

B. \(m = \dfrac{{11}}{2};\,\,m = \dfrac{7}{2}\)

C. \(m = - \dfrac{{11}}{2};\,\,m = \dfrac{7}{2}\)

D. Không có m

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361313

Giải chi tiết

Xét \(y' = 0 \Leftrightarrow - 3{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x = 0\)

Để hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 3.

\( \Leftrightarrow \)Phương trình \(y' = 0\) có 2 nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) thoả mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3\end{array} \right.\).

+ \(\Delta = 4{\left( {m + 1} \right)^2} > 0\,\,\,\forall m \ne - 1\)

+ Ta có: \(\left| {{x_2} - {x_1}} \right| = 3 \Leftrightarrow {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = 9\)

\( \Leftrightarrow {x_1}^2 + 2{x_1}{x_2} + {x_2}^2 - 4{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9{\rm{ }}\left( 1 \right)\)

Theo định lý Vi-ét: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = \dfrac{{2\left( {m + 1} \right)}}{3}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a} = 0\end{array} \right.\)

Có: \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 9 \Leftrightarrow \dfrac{{4{{\left( {m + 1} \right)}^2}}}{9} = 9\).

\( \Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 = {{81} \over 4} \Leftrightarrow {m^2} + 2m - {{77} \over 4} = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = {7 \over 2} \hfill \cr
m = {{ - 11} \over 2} \hfill \cr} \right.\)

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.