Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì \(G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\) chia

Câu hỏi số 361702:

Vận dụng

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì \(G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\) chia hết cho \(64.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361702

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất: Nếu \(a \vdots c,\,\,b \vdots c \Rightarrow a - b\,\, \vdots \,\,c.\)

Ta coi đây là một dạng khác của phương pháp quy nạp. Để chứng minh \(F\left( n \right) \vdots A\) ta làm theo các bước sau:

+) Bước 1: \(F\left( 1 \right)\,\, \vdots \,\,A\)

+) Bước 2: \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,A\)

Giải chi tiết

Ta có: \(G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\)

+) Với \(n = 1 \Rightarrow G\left( 1 \right) = {3^5} + 40 - 27 = 256\,\, \vdots \,\,64\)

+) Giả sử \({3^{2n + 3}} + 40n - 27\,\, \vdots \,\,64\) đúng hay \(G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\,\, \vdots \,\,64\) (giả thiết quy nạp)

+) Ta cần chứng minh: \(G\left( {n + 1} \right) - G\left( n \right)\,\, \vdots \,\,6\,4\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}G\left( {n + 1} \right) - G\left( n \right) = {3^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} + 40\left( {n + 1} \right) - 27 - \left( {{3^{2n + 3}} + 40n - 27} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^{2n + 2 + 3}} + 40n + 40 - 27 - {3^{2n + 3}} - 40n + 27\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2}{.3^{2n + 3}} + 40\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {8.3^{2n + 3}} + 40\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8\left( {{3^{2n + 3}} + 5} \right)\end{array}\)

Vì \(8\,\, \vdots \,\,8 \Rightarrow 8\left( {{3^{2n + 3}} + 5} \right)\,\, \vdots \,\,8\)

\( \Rightarrow G\left( {n + 1} \right) - G\left( n \right)\,\,\, \vdots \,\,\,64\) thì \({3^{2n + 3}} + 5\,\,\, \vdots \,\,8\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*.\)

Đặt \(F\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 5\)

Với \(n = 1\) ta có: \(F\left( 1 \right) = {3^{2.1 + 3}} + 5 = 248\,\, \vdots \,\,\,8.\)

Giả sử \(F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,8\) ta chứng minh: \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,8\)

Thật vậy:

\(\begin{array}{l}F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right) = {3^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} + 5 - \left( {{3^{2n + 3}} + 5} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2}{.3^{2n + 3}} + 5 - {3^{2n + 3}} - 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {9.3^{2n + 3}} - {3^{2n + 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {8.3^{2n + 3}}\,\, \vdots \,\,8\\ \Rightarrow F\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 5\,\,\, \vdots \,\,8\\ \Rightarrow G\left( {n + 1} \right) - G\left( n \right)\,\, \vdots \,\,64\\ \Rightarrow G\left( {n + 1} \right)\,\,\, \vdots \,\,64.\end{array}\)

\( \Rightarrow G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\,\,\, \vdots \,\,64\) đúng với \(n = k + 1\)

\( \Rightarrow G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\) chia hết cho \(64\) với mọi \(n \ge 1,\,\,n \in \mathbb{N}.\)

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 6 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Học bám sát chương trình SGK mới nhất của Bộ Giáo dục. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link