Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì \(G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\) chia hết cho \(64.\)
Câu 361702: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\) thì \(G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\) chia hết cho \(64.\)
Sử dụng tính chất: Nếu \(a \vdots c,\,\,b \vdots c \Rightarrow a - b\,\, \vdots \,\,c.\)
Ta coi đây là một dạng khác của phương pháp quy nạp. Để chứng minh \(F\left( n \right) \vdots A\) ta làm theo các bước sau:
+) Bước 1: \(F\left( 1 \right)\,\, \vdots \,\,A\)
+) Bước 2: \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,A\)
-
Giải chi tiết:
Ta có: \(G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\)
+) Với \(n = 1 \Rightarrow G\left( 1 \right) = {3^5} + 40 - 27 = 256\,\, \vdots \,\,64\)
+) Giả sử \({3^{2n + 3}} + 40n - 27\,\, \vdots \,\,64\) đúng hay \(G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\,\, \vdots \,\,64\) (giả thiết quy nạp)
+) Ta cần chứng minh: \(G\left( {n + 1} \right) - G\left( n \right)\,\, \vdots \,\,6\,4\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}G\left( {n + 1} \right) - G\left( n \right) = {3^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} + 40\left( {n + 1} \right) - 27 - \left( {{3^{2n + 3}} + 40n - 27} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^{2n + 2 + 3}} + 40n + 40 - 27 - {3^{2n + 3}} - 40n + 27\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2}{.3^{2n + 3}} + 40\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {8.3^{2n + 3}} + 40\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 8\left( {{3^{2n + 3}} + 5} \right)\end{array}\)
Vì \(8\,\, \vdots \,\,8 \Rightarrow 8\left( {{3^{2n + 3}} + 5} \right)\,\, \vdots \,\,8\)
\( \Rightarrow G\left( {n + 1} \right) - G\left( n \right)\,\,\, \vdots \,\,\,64\) thì \({3^{2n + 3}} + 5\,\,\, \vdots \,\,8\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*.\)
Đặt \(F\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 5\)
Với \(n = 1\) ta có: \(F\left( 1 \right) = {3^{2.1 + 3}} + 5 = 248\,\, \vdots \,\,\,8.\)
Giả sử \(F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,8\) ta chứng minh: \(F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right)\,\, \vdots \,\,8\)
Thật vậy:
\(\begin{array}{l}F\left( {n + 1} \right) - F\left( n \right) = {3^{2\left( {n + 1} \right) + 3}} + 5 - \left( {{3^{2n + 3}} + 5} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^2}{.3^{2n + 3}} + 5 - {3^{2n + 3}} - 5\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {9.3^{2n + 3}} - {3^{2n + 3}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {8.3^{2n + 3}}\,\, \vdots \,\,8\\ \Rightarrow F\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 5\,\,\, \vdots \,\,8\\ \Rightarrow G\left( {n + 1} \right) - G\left( n \right)\,\, \vdots \,\,64\\ \Rightarrow G\left( {n + 1} \right)\,\,\, \vdots \,\,64.\end{array}\)
\( \Rightarrow G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\,\,\, \vdots \,\,64\) đúng với \(n = k + 1\)
\( \Rightarrow G\left( n \right) = {3^{2n + 3}} + 40n - 27\) chia hết cho \(64\) với mọi \(n \ge 1,\,\,n \in \mathbb{N}.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều). Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
