Cho \(n \in \mathbb{N}*,\) chứng minh rằng: \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5.\)
Câu 361703: Cho \(n \in \mathbb{N}*,\) chứng minh rằng: \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5.\)
Sử dụng phương pháp quy nạp.
-
Giải chi tiết:
Ta cần chứng minh : \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,\,5,\,\,\,n \in \mathbb{N}*.\)
+) Với \(n = 1 \Rightarrow C = {7.2^0} + {3^1} = 10\,\, \vdots \,\,5\)
+) Giả sử \({7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) đúng với \(n = k\) hay \({C_k} = {7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) (giả thiết quy nạp)
+) Ta đi chứng minh \({7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh: \({C_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}}\,\, \vdots \,\,5\)
Ta có:
\(\begin{array}{l}{C_{k + 1}} = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {7.2^{2k + 2 - 2}} + {3^{2k + 2 - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {7.2^2}{.2^{2k - 2}} + {3^2}{.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4.7.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {4.7.2^{2k - 2}} + {4.3^{2k - 1}} + {5.3^{2k - 1}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + {5.3^{2k - 1}}.\end{array}\)
Vì \({7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,5\)
\(5\,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow {5.3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5\)
\( \Rightarrow 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + {5.3^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,5.\)
\( \Rightarrow {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) đúng với \(n = k + 1\)
Vậy \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,5\) với mọi \(n \in \mathbb{N}*.\)
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com