Chứng minh rằng: \(\forall n \ge 1:\,\,\,{5^{2n - 1}}{.2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}{.2^{2n - 1}}\,\,\, \vdots

Câu hỏi số 361709:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng: \(\forall n \ge 1:\,\,\,{5^{2n - 1}}{.2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}{.2^{2n - 1}}\,\,\, \vdots \,\,38.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:361709

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp quy nạp.

Giải chi tiết

Chứng minh: \({5^{2n - 1}}{.2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}{.2^{2n - 1}}\,\, \vdots \,\,38\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

+) Với \(n = 1,\) ta có: \({5^{2.1 - 1}}{.2^{1 + 1}} + {3^{1 + 1}}{.2^{2.1 - 1}} = 5.4 + 9.2 = 38\,\, \vdots \,\,38\)

+) Giả sử \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k\,\,\,\left( {k \ge 1} \right)\) tức là : \(\left( 2 \right)\) (giả thiết quy nạp )

Ta phải chứng minh \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1,\) tức là chứng minh: \({5^{2k + 2 - 1}}{.2^{k + 1 + 1}} + {3^{k + 1 + 1}}{.2^{2k + 2 - 1}}\,\, \vdots \,\,38\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,{5^{2k + 2 - 1}}{.2^{k + 1 + 1}} + {3^{k + 1 + 1}}{.2^{2k + 2 - 1}}\\ = {25.5^{2k - 1}}{.2.2^{k + 1}} + {3.3^{k + 1}}{.4.2^{2k - 1}}\\ = {50.5^{2k - 1}}{.2^{k + 1}} + {12.3^{k + 1}}{.2^{2k - 1}}\\ = 50\left( {{5^{2k - 1}}{{.2}^{k + 1}} + {3^{k + 1}}{{.2}^{2k - 1}}} \right) - {38.3^{k + 1}}{.2^{2k - 1}}\,\,\end{array}\)

Vì \({5^{2k - 1}}{.2^{k + 1}} + {3^{k + 1}}{.2^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,38 \Rightarrow 50.\left( {{5^{2k - 1}}{{.2}^{k + 1}} + {3^{k + 1}}{{.2}^{2k - 1}}} \right)\,\, \vdots \,\,38\) và \({38.3^{k + 1}}{.2^{2k - 1}}\,\, \vdots \,\,38\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy \({5^{2n - 1}}{.2^{n + 1}} + {3^{n + 1}}{.2^{2n - 1}} \,\,\vdots\,\, 38,\,\,\,\forall n \ge 1.\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K13 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 6 chương trình mới trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 6 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link