Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,\left( C \right)\) và đường thẳng \({d_m}:y = x + m\). Tìm m để (C) cắt \({d_m}\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) sao cho \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\)?

Câu 361774: Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,\left( C \right)\) và đường thẳng \({d_m}:y = x + m\). Tìm m để (C) cắt \({d_m}\) tại hai điểm phân biệt \(A,\,\,B\) sao cho \(\Delta OAB\) vuông tại \(O\)?

A. \(m = \dfrac{1}{3}\)

B. \(m = \dfrac{4}{3}\)

C. \(m = \dfrac{2}{3}\)

D. \(m = - \dfrac{1}{3}\)

Câu hỏi : 361774

Quảng cáo

Đáp án : C
(3) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
+ Phương trình hoành độ giao điểm

\(x + m = \dfrac{{2x + 1}}{{x + 1}}\,\,\,\left( {x \ne - 1} \right) \)

\(\Leftrightarrow \left( {x + m} \right)\left( {x + 1} \right) = 2x + 1 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 1} \right)x + m - 1 = 0\,\,\left( 1 \right)\)

+ Theo đlí viet: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 1 - m\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = m - 1\end{array} \right.\)

+ Để đồ thị \(\left( C \right)\) cắt \(\left( d \right)\) tại 2 điểm phân biệt \( \Rightarrow \) (1) có 2 nghiệm phân biệt khác \( - 1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\1 - \left( {m - 1} \right) + m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\\1 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 1\\m > 5\end{array} \right.\)

+ Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm \({x_1},{x_2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {{x_1};{x_1} + m} \right)\\B\left( {{x_2};{x_2} + m} \right)\end{array} \right.\)

+ Tam giác \(OAB\) vuông tại \(O\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0 \Leftrightarrow \left( {{x_1};{x_1} + m} \right).\left( {{x_2};{x_2} + m} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + m} \right)\left( {{x_2} + m} \right) = 0 \Leftrightarrow 2{x_1}{x_2} + \left( {{x_1} + {x_2}} \right)m + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {m - 1} \right) + \left( {1 - m} \right)m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow 3m - 2 = 0 \Rightarrow m = \dfrac{2}{3}\,\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn C.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.